Решение: Светящийся предмет находится на расстоянии 420 см от экрана. На каком расстоянии

Условие задачи:

Светящийся предмет находится на расстоянии 420 см от экрана. На каком расстоянии от экрана надо поместить собирающую линзу, чтобы получить двадцатикратное увеличение предмета?

Задача №10.5.30 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(z=420\) см, \(\Gamma=20\), \(f-?\)

Решение задачи:

Собирающая линза дает увеличенное изображение предмета при следующем условии:

\[F < d < 2F\]

Чтобы построить изображение точки A в собирающей линзе, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе, пройдет через задний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. На пересечении этих лучей и будет находиться точка A₁. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B₁. Вот и все, изображение построено. Как мы видим, оно получилось действительным (поскольку получается на сходящемся пучке лучей), перевернутым и увеличенным.

Из рисунка видно, что данное в условии расстояние между предметом и экраном (изображением) \(z\) можно выразить следующим образом:

\[z = d + f\;\;\;\;(1)\]

Из подобия треугольников AOB и A₁OB₁ по трем углам следует, что (при этом эти две дроби ещё равны и поперечному увеличению линзы \(\Gamma\)):

\[\Gamma = \frac{H}{h} = \frac{f}{d}\]

Тогда:

\[d = \frac{f}{\Gamma }\;\;\;\;(2)\]

Подставим выражение (2) в формулу (1):

\[z = \frac{f}{\Gamma } + f\]

Приведем под общий знаменатель, тогда:

\[z = \frac{{f + \Gamma f}}{\Gamma }\]

\[z = \frac{{f\left( {\Gamma + 1} \right)}}{\Gamma }\]

Откуда получим окончательное решение задачи в общем виде: