Решение: Расстояние от предмета до экрана 90 см. Где нужно поместить между ними линзу

Условие задачи:

Расстояние от предмета до экрана 90 см. Где нужно поместить между ними линзу с фокусным расстоянием 20 см, чтобы получить на экране уменьшенное изображение предмета?

Задача №10.5.29 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(z=90\) см, \(F=20\) см, \(\Gamma < 1\), \(d-?\)

Решение задачи:

Изображение предмета на экране можно получить только с помощью собирающей линзы. Учитывая, что изображение получается уменьшенным, то должно выполняться следующее условие:

\[d > 2F\;\;\;\;(1)\]

Чтобы построить изображение точки A в собирающей линзе, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе в точке C, пройдет через задний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. На пересечении этих лучей и будет находиться точка A₁. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B₁. Вот и все, изображение построено. Как мы видим, оно получилось действительным (поскольку получается на сходящемся пучке лучей) и перевернутым.

Запишем формулу тонкой линзы:

\[\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}\;\;\;\;(2)\]

В этой формуле \(F\) – фокусное расстояние линзы, знак перед ним “+”, поскольку линза – собирающая, \(d\) – расстояние от линзы до предмета, знак перед ним “+”, поскольку предмет – действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), \(f\) – расстояние от линзы до изображения, знак перед ним “+”, поскольку изображение – действительное (то есть образуется на сходящемся пучке лучей – смотрите рисунок).

Из рисунка видно, что данное в условии расстояние между предметом и экраном (изображением) \(z\) можно выразить следующим образом:

\[z = d + f\]

Имеем:

\[f = z – d\;\;\;\;(3)\]

Тогда уравнение (2) с учетом выражения (3) примет вид:

\[\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{{z – d}}\]

Приведем правую часть уравнения под общий знаменатель:

\[\frac{1}{F} = \frac{{z – d + d}}{{d\left( {z – d} \right)}}\]

\[\frac{1}{F} = \frac{z}{{d\left( {z – d} \right)}}\]

Перемножим “крест-накрест”, раскроем скобки и перенесем все в одну сторону:

\[zF = d\left( {z – d} \right)\]

\[zF = dz – {d^2}\]

\[{d^2} – zd + zF = 0\]

Чтобы полученное квадратное уравнение относительно \(d\) имело хоть какой-нибудь корень, его дискриминант \(D_{диск}\) должен быть больше или равен нулю:

\[{D_{диск}} = {z^2} – 4zF\]

\[{D_{диск}} = {0,9^2} – 4 \cdot 0,9 \cdot 0,2 = 0,09 > 0\]

Корни квадратного уравнения будем искать так:

\[d = \frac{{z \pm \sqrt {{z^2} – 4zF} }}{2}\]

\[\left[ \begin{gathered}
d = \frac{{0,9 + \sqrt {{{0,9}^2} – 4 \cdot 0,9 \cdot 0,2} }}{2} = 0,6\;м = 60\;см \hfill \\
d = \frac{{0,9 – \sqrt {{{0,9}^2} – 4 \cdot 0,9 \cdot 0,2} }}{2} = 0,3\;м = 30\;см \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Второй корень не удовлетворяет условию (1), поэтому ответ \(d=60\) см.