Решение: Предмет находится на расстоянии 4F от собирающей линзы. Найдите коэффициент увеличения

Условие задачи:

Предмет находится на расстоянии \(4F\) от собирающей линзы. Найдите коэффициент увеличения линзы.

Задача №10.5.14 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(d=4F\), \(\Gamma-?\)

Решение задачи:

Понятно, что в задаче просят найти поперечное увеличение линзы \(\Gamma\) (странно, что его назвали коэффициентом увеличения).

Чтобы построить изображение точки A в собирающей линзе, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе, пройдет через задний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. На пересечении этих лучей и будет находиться точка A₁. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B₁. Вот и все, изображение построено. Как мы видим, оно получилось действительным (поскольку получается на сходящемся пучке лучей), перевернутым и уменьшенным (так как \(d > 2F\))

Запишем формулу тонкой линзы:

\[\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(F\) – фокусное расстояние линзы, знак перед ним “+”, поскольку линза – собирающая, \(d\) – расстояние от линзы до предмета, знак перед ним “+”, поскольку предмет – действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), \(f\) – расстояние от линзы до изображения, знак перед ним “+”, поскольку изображение – действительное (то есть образуется на сходящемся пучке лучей – смотрите рисунок).

Поперечное увеличение линзы \(\Gamma\) определяют по следующей формуле (она выводится из подобия треугольников AOB и A₁OB₁ по трем углам):

\[\Gamma = \frac{f}{d}\;\;\;\;(2)\]

Из уравнения (1) будем выражать расстояние от линзы до изображения \(f\), для чего в правой части уравнения (1) приведем под общий знаменатель:

\[\frac{1}{F} = \frac{{f + d}}{{df}}\]

Перемножим “крест-накрест”:

\[df = Ff + Fd\]

\[df – Ff = Fd\]

\[f\left( {d – F} \right) = Fd\]

\[f = \frac{{dF}}{{d – F}}\]

Полученное выражение подставим в формулу (2):

\[\Gamma = \frac{{dF}}{{d\left( {d – F} \right)}}\]

\[\Gamma = \frac{F}{{d – F}}\]