Решение: Определить главное фокусное расстояние рассеивающей линзы, если известно, что

Условие задачи:

Определить главное фокусное расстояние рассеивающей линзы, если известно, что изображение предмета, помещенного перед ней на расстоянии 50 см, получилось уменьшенным в 5 раз?

Задача №10.5.43 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(d=50\) см, \(\Gamma = \frac{1}{5}\), \(F-?\)

Решение задачи:

Чтобы построить изображение точки A в рассеивающей линзе, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе в точке C, пойдет дальше таким образом, что его продолжение влево пройдет через передний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. На пересечении этих лучей и будет находиться точка A₁. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B₁. Вот и все, изображение построено. Как мы видим, оно получилось мнимым (поскольку получается на расходящемся пучке лучей), прямым и уменьшенным (\(\Gamma < 1\)).

Запишем формулу тонкой линзы:

\[ – \frac{1}{F} = \frac{1}{d} – \frac{1}{f}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(F\) – фокусное расстояние линзы, знак перед ним “-“, поскольку линза – рассеивающая, \(d\) – расстояние от линзы до предмета, знак перед ним “+”, поскольку предмет – действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), \(f\) – расстояние от линзы до изображения, знак перед ним “-“, поскольку изображение – мнимое (то есть образуется на расходящемся пучке лучей – смотрите рисунок).

Поперечное увеличение предмета в линзе \(\Gamma\) определяют по формуле (это можно вывести из подобия треугольников AOB и A₁OB₁):

\[\Gamma = \frac{f}{d} = \frac{H}{h}\]

Тогда:

\[f = \Gamma d\;\;\;\;(2)\]

Подставим выражение (2) в уравнение (1):

\[ – \frac{1}{F} = \frac{1}{d} – \frac{1}{{\Gamma d}}\]

Приведем в правой части под общий знаменатель:

\[ – \frac{1}{F} = \frac{{\Gamma – 1}}{{\Gamma d}}\]

\[\frac{1}{F} = \frac{{1 – \Gamma }}{{\Gamma d}}\]

Окончательно получим такой ответ:

\[F = \frac{{\Gamma d}}{{1 – \Gamma }}\]

Численный ответ задачи: