На какой высоте находится аэростат, если с башни высотой 20 м он виден под углом 45°

Условие задачи:

На какой высоте находится аэростат, если с башни высотой 20 м он виден под углом 45° над горизонтом, а его изображение в озере видно под углом 60° под горизонтом?

Задача №10.1.10 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(h=20\) м, \(\alpha=45^\circ\), \(\beta=60^\circ\), \(H-?\)

Решение задачи:

Для решения этой задачи необходимо сделать рисунок. Изобразим в виде отрезка AB высотой (длиной) \(h\) башню. Изобразим где-то в небе аэростат C, находящийся на искомой высоте \(H\) (длина отрезка CO) над озером. Покажем изображение аэростата в озере на глубине \(H\) (длина отрезка OD) от поверхности озера. Опустим из точки B (вершины башни) на отрезок CO перпендикуляр BE, длину которого обозначим за \(L\). Тогда получившийся на рисунке угол CBE – это данный в условии угол \(\alpha\), а угол DBE – это данный в условии угол \(\beta\).

Рассмотрим два полученных прямоугольных треугольника CBE и DBE. Из рассмотрения имеем:

\[\left\{ \begin{gathered}
H – h = L \cdot tg\alpha \hfill \\
H + h = L \cdot tg\beta \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Чтобы избавиться от \(L\), разделим полученные уравнения друг на друга:

\[\frac{{H – h}}{{H + h}} = \frac{{tg\alpha }}{{tg\beta }}\]

Перемножим “крест-накрест”, а потом раскроем скобки в обеих частях уравнения:

\[\left( {H + h} \right)tg\alpha = \left( {H – h} \right)tg\beta \]

\[H \cdot tg\alpha + h \cdot tg\alpha = H \cdot tg\beta – h \cdot tg\beta \]

Все слагаемые с \(h\) перенесем в левую часть, а с \(H\) – в правую:

\[h \cdot tg\alpha + h \cdot tg\beta = H \cdot tg\beta – H \cdot tg\alpha \]

Вынесем за скобки \(h\) и \(H\):

\[h\left( {tg\alpha + tg\beta } \right) = H\left( {tg\beta – tg\alpha } \right)\]

Окончательно получим такое решение задачи в общем виде:

\[H = \frac{{h\left( {tg\alpha + tg\beta } \right)}}{{tg\beta – tg\alpha }}\]

Посчитаем численный ответ задачи:

\[H = \frac{{20 \cdot \left( {tg45^\circ + tg60^\circ } \right)}}{{tg60^\circ – tg45^\circ }} = 74,64\;м\]

Ответ: 74,64 м.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

10.1.9 Небольшой предмет расположен между двумя плоскими зеркалами, образующими угол
10.1.11 Какова должна быть минимальная высота вертикального зеркала, в котором человек
10.1.12 Предмет помещен между двумя взаимно перпендикулярными зеркалами. Сколько