Пучок лазерного излучения с длиной волны 3,3*10^(-7) м используется для нагревания 1 кг

Условие задачи:

Пучок лазерного излучения с длиной волны 3,3·10^-7 м используется для нагревания 1 кг воды. За какое время вода нагреется на 100° C, если лазер ежесекундно испускает 10²⁰ фотонов, и все они поглощаются водой.

Задача №11.1.24 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\lambda= 3,3 \cdot 10^{-7}\) м, \(m=1\) кг, \(\Delta \tau =100^\circ\) C, \(t_0=1\) c, \(N_0=10^{20}\), \(t-?\)

Решение задачи:

Энергия лазерного излучения, равная общей энергии всех фотонов \(E\), которые излучаются лазером за некоторое время \(t\), равно количеству теплоты \(Q\), необходимое на изменение температуры воды массой \(m\) на величину \(\Delta \tau\), поэтому:

\[E = Q\;\;\;\;(1)\]

Указанное количество теплоты \(Q\) мы можем определить по формуле:

\[Q = {c_в}m\Delta \tau \;\;\;\;(2)\]

В этой формуле \(c_в\) — удельная теплоемкость воды, равная 4200 Дж/(кг·°C).

Очевидно, что общая энергия всех фотонов \(E\) равна произведению энергии одного фотона \({E_0}\) на количество этих фотонов \(N\):

\[E = N{E_0}\;\;\;\;(3)\]

Известно, что лазер испускает за время \(t_0\) количество фотонов, равное \(N_0\). Чтобы найти число фотонов \(N\), которое испускает лазер за время \(t\), нужно воспользоваться следующим соотношением:

\[\frac{N}{t} = \frac{{{N_0}}}{{{t_0}}}\]

\[N = {N_0}\frac{t}{{{t_0}}}\;\;\;\;(4)\]

Согласно формуле Планка, энергия фотона \(E\) пропорциональна частоте колебаний \(\nu\) и определяется следующим образом:

\[{E_0} = h\nu \;\;\;\;(5)\]

В этой формуле \(h\) — это постоянная Планка, равная 6,62·10^-34 Дж·с.

Известно, что частоту колебаний \(\nu\) можно выразить через скорость света \(c\), которая равна 3·10⁸ м/с, и длину волны \(\lambda\) по следующей формуле:

\[\nu = \frac{c}{\lambda }\;\;\;\;(6)\]

Подставим сначала (6) в (5), далее полученное и выражение (4) подставим в (3), тогда получим:

\[E = \frac{{{N_0}hct}}{{\lambda {t_0}}}\;\;\;\;(7)\]

Выражения (7) и (2) подставим в равенство (1):

\[\frac{{{N_0}hct}}{{\lambda {t_0}}} = {c_в}m\Delta \tau \]

Откуда искомое время \(t\) равно:

\[t = \frac{{{c_в}m\Delta \tau \lambda {t_0}}}{{{N_0}hc}}\]

Мы получили решение задачи в общем виде, подставим численные данные задачи в формулу и посчитаем численный ответ задачи:

\[t = \frac{{4200 \cdot 1 \cdot 100 \cdot 3,3 \cdot {{10}^{ — 7}} \cdot 1}}{{{{10}^{20}} \cdot 6,62 \cdot {{10}^{ — 34}} \cdot 3 \cdot {{10}^8}}} = 6979\;с = 116,3\;мин\]

Ответ: 116,3 мин.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

11.1.23 Мощность излучения лазера 100 Вт, длина волны излучения 1,2*10^(-6) м. Определите
11.1.25 Вычислить энергию фотона в среде с показателем преломления 1,33, если в вакууме длина
11.1.26 При облучении люминофора ультрафиолетовым излучением с длиной волны 200 нм