Решение: Лазерный луч, падая нормально на зеркало, полностью от него отражается. За время

Условие задачи:

Лазерный луч, падая нормально на зеркало, полностью от него отражается. За время \(t\) лазер излучает энергию \(E\). Найти импульс, получаемый зеркалом в 1 секунду.

Задача №11.1.42 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(t\), \(E\), \(t_0=1\) с, \(p-?\)

Решение задачи:

Так как каждый фотон лазерного луча, имеющий импульс \(p_0\), полностью отражается зеркалом, то изменение импульса каждого фотона при таком отражении равно \(2p_0\). Так как за время \(t_0\) на зеркало падает \(N_0\) фотонов, то общее изменение импульса пучка фотонов за это время равно \(2{N_0}{p_0}\). Точно такое же изменение импульса будет испытывать и зеркало, поскольку на систему не действуют внешние силы.

Учитывая вышесказанное, имеем:

\[p = 2{N_0}{p_0}\;\;\;\;(1)\]

Начнем с простого, сначала определим импульс одного фотона \(p_0\), так как это выполнить проще всего. Запишем формулу длины волны де Бройля \(\lambda\):

\[\lambda = \frac{h}{p_0}\;\;\;\;(2)\]

В этой формуле \(h\) — это постоянная Планка, равная 6,62·10^-34 Дж·с. Из этой формулы (2) выразим импульс одного фотона \(p_0\):

\[{p_0} = \frac{h}{\lambda }\;\;\;\;(3)\]

Теперь будем определять число фотонов \(N_0\), которое падает на зеркало за одну секунду, для этого воспользуемся следующими соображениями. Известно, что за время \(t\) лазер излучает энергию \(E\), тогда энергию \(E_0\), излучаемую за время \(t_0\) найдем так:

\[\frac{E}{t} = \frac{{{E_0}}}{{{t_0}}}\]

\[{E_0} = E\frac{{{t_0}}}{t}\;\;\;\;(4)\]

Согласно формуле Планка, энергия фотона пропорциональна частоте колебаний \(\nu\). Тогда энергия пучка фотонов \(E_0\), содержащего \(N_0\) фотонов, равна:

\[{E_0} = {N_0}h\nu \;\;\;\;(5)\]

Известно, что частоту колебаний \(\nu\) можно выразить через скорость света \(c\), которая равна 3·10⁸ м/с, и длину волны \(\lambda\) по следующей формуле:

\[\nu = \frac{c}{\lambda }\;\;\;\;(6)\]

Подставим выражение (6) в формулу (5):

\[{E_0} = \frac{{{N_0}hc}}{\lambda }\;\;\;\;(7)\]

Приравняем (4) и (7):

\[E\frac{{{t_0}}}{t} = \frac{{{N_0}hc}}{\lambda }\]

Откуда число фотонов \(N_0\) равно:

\[{N_0} = \frac{{E{t_0}\lambda }}{{hct}}\;\;\;\;(8)\]

Осталось только подставить (3) и (7) в формулу (1):

\[p = \frac{{2E{t_0}\lambda h}}{{hct\lambda }}\]

\[p = \frac{{2E{t_0}}}{{ct}}\]

Если еще принять во внимание, что по условию задачи \(t_0=1\) с, имеем:

\[p = \frac{{2E}}{{ct}}\]