Решение: Линза дает увеличение предмета в три раза, если предмет находится на расстоянии 10 см

Условие задачи:

Линза дает увеличение предмета в три раза, если предмет находится на расстоянии 10 см от нее. Найти фокусное расстояние линзы.

Задача №10.5.7 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\Gamma=3\), \(d=10\) см, \(F-?\)

Решение задачи:

Определенно ясно, что мы имеем дело с собирающей линзой, поскольку рассеивающая линза не может давать увеличенного изображения предмета. Но совершенно непонятно где находится предмет, поэтому рассмотрим два случая (см. рисунок).

Случай первый – \({d} > {F}\). Чтобы построить изображение точки A в собирающей линзе в данном случае, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе, пройдет через задний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. На пересечении этих лучей и будет находиться точка A₁. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B₁. Вот и все, изображение построено. Как мы видим, оно получилось действительным (поскольку получается на сходящемся пучке лучей), перевернутым и увеличенным (\(\Gamma > 1\)).

Запишем формулу тонкой линзы для этого случая:

\[\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(F\) – фокусное расстояние линзы, знак перед ним “+”, поскольку линза – собирающая, \(d\) – расстояние от линзы до предмета, знак перед ним “+”, поскольку предмет – действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), \(f\) – расстояние от линзы до изображения, знак перед ним “+”, поскольку изображение – действительное (то есть образуется на сходящемся пучке лучей – смотрите рисунок).

Поперечное увеличение предмета в линзе \(\Gamma\) определяют по формуле (это можно вывести из подобия треугольников AOB и A₁OB₁):

\[\Gamma = \frac{f}{d}\]

Тогда:

\[f = \Gamma d\;\;\;\;(2)\]

Подставим выражение (2) в формулу (1):

\[\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{{\Gamma d}}\]

\[\frac{1}{F} = \frac{{\Gamma + 1}}{{\Gamma d}}\]

Откуда получим такую окончательную формулу:

\[F = \frac{{\Gamma d}}{{\Gamma + 1}}\]

Если подставить в эту формулу значения величин из условия задачи, то мы получим ответ (не забываем переводить эти значения в систему СИ):

\[F = \frac{{3 \cdot 0,1}}{{3 + 1}} = 0,075\;м = 7,5\;см\]

Случай второй – \({d} < {F}\). Чтобы построить изображение точки A в собирающей линзе в этом случае, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе, пройдет через задний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. Так как лучи не пересекаются, то их нужно продлить влево. На пересечении продолжений этих лучей и будет находиться точка A₁. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B₁. Вот и все, изображение построено. Как мы видим, оно получилось мнимым (поскольку получается на расходящемся пучке лучей), прямым и увеличенным (\(\Gamma > 1\)).

Запишем формулу тонкой линзы для данного случая:

\[\frac{1}{F} = \frac{1}{d} – \frac{1}{f}\;\;\;\;(3)\]

В этой формуле \(F\) – фокусное расстояние линзы, знак перед ней “+”, поскольку линза – собирающая, \(d\) – расстояние от линзы до предмета, знак перед ним “+”, поскольку предмет – действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), \(f\) – расстояние от линзы до изображения, знак перед ним “-“, поскольку изображение – мнимое (то есть образуется на расходящемся пучке лучей – смотрите рисунок).

Аналогично, поперечное увеличение предмета в линзе \(\Gamma\) определяют по формуле (это можно вывести из подобия треугольников AOB и A₁OB₁):

\[\Gamma = \frac{f}{d}\]

Тогда:

\[f = \Gamma d\;\;\;\;(4)\]

Подставим выражение (4) в формулу (3):

\[\frac{1}{F} = \frac{1}{d} – \frac{1}{{\Gamma d}}\]

Приведем под общий знаменатель в правой части полученного уравнения:

\[\frac{1}{F} = \frac{{\Gamma – 1}}{{\Gamma d}}\]

Тогда:

\[F = \frac{{\Gamma d}}{{\Gamma – 1}}\]

Численный ответ в этом случае равен:

\[F = \frac{{3 \cdot 0,1}}{{3 – 1}} = 0,15\;м = 15\;см\]