Решение: Уравнение колебаний пружинного маятника массой 200 г имеет вид

Условие задачи:

Уравнение колебаний пружинного маятника массой 200 г имеет вид \(x = 0,05\cos \left( {8\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)\) (м). Определите жесткость пружины, если её массой можно пренебречь.

Задача №9.3.9 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m=200\) г, \(x = 0,05\cos \left( {8\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)\), \(k-?\)

Решение задачи:

Известно, что уравнение колебаний пружинного маятника в общем виде выглядит следующим образом:

\[x = A\cos \left( {{\varphi _0} + \omega t} \right)\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(A\) — амплитуда колебаний, \(\omega\) — циклическая частота колебаний, \(\varphi_0\) — начальная фаза колебаний.

Из сравнения данного в условии уравнения и уравнения (1) понятно, что циклическая частота колебаний пружинного маятника \(\omega\) равна \(8\pi\) рад/с.

Вообще, циклическую частоту колебаний пружинного маятника \(\omega\) можно найти по формуле:

\[\omega = \sqrt {\frac{k}{m}} \;\;\;\;(2)\]

В этой формуле \(k\) — коэффициент жесткости пружины, \(m\) — масса колеблющегося груза.

Возведем обе части уравнения (2) в квадрат:

\[{\omega ^2} = \frac{k}{m}\]

Откуда искомая жесткость пружины \(k\) равна:

\[k = m{\omega ^2}\]

Посчитаем ответ:

\[k = 0,2 \cdot {\left( {8\pi } \right)^2} = 126,2\;Н/м\]