Материальная точка совершает гармонические колебания. Период колебаний 0,5 с

Условие задачи:

Материальная точка совершает гармонические колебания. Период колебаний 0,5 с, максимальное ускорение 15,8 м/с². Определить амплитуду колебаний.

Задача №9.1.2 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(T=0,5\) с, \(a_{\max}=15,8\) м/с², \(A-?\)

Решение задачи:

Если материальная точка совершает гармонические колебания, то уравнение этих колебаний можно представить в виде:

\[x = A\sin \left( {\omega t} \right)\]

В этой формуле \(A\) — амплитуда колебаний, \(\omega\) — циклическая частота колебаний.

Чтобы найти уравнение ускорения точки при этих колебаниях, нужно дважды взять производную от уравнения колебаний. Сначала возьмем первую производную:

\[x^{\prime} = A\omega \cos \left( {\omega t} \right)\]

Теперь берем вторую производную:

\[x^{\prime\prime} = — A{\omega ^2}\sin \left( {\omega t} \right)\]

То есть мы имеем:

\[a = — A{\omega ^2}\sin \left( {\omega t} \right)\]

Понятно, что максимальное по модулю значение ускорения в таком случае следует искать по формуле:

\[{a_{\max }} = A{\omega ^2}\;\;\;\;(1)\]

Циклическая частота колебаний \(\omega\) и период колебаний \(T\) связаны по известной формуле:

\[\omega = \frac{{2\pi }}{T}\]

Тогда, учитывая это, формула (1) примет вид:

\[{a_{\max }} = \frac{{4{\pi ^2}A}}{{{T^2}}}\]

Откуда искомая амплитуда колебаний \(A\) равна:

\[A = \frac{{{a_{\max }}{T^2}}}{{4{\pi ^2}}}\]

Численный ответ задачи равен:

\[A = \frac{{15,8 \cdot {{0,5}^2}}}{{4 \cdot {{3,14}^2}}} = 0,1\;м\]

Ответ: 0,1 м.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

9.1.1 Уравнение гармонических колебаний имеет вид x=4*sin(2*pi*t) (м). Определить
9.1.3 За какое время от начала движения точка, колеблющаяся по закону x=7*sin(0,5*pi*t) (м)
9.1.4 Две точки совершают гармонические колебания. Максимальная скорость первой точки