Две точки совершают гармонические колебания. Максимальная скорость первой точки

Условие задачи:

Две точки совершают гармонические колебания. Максимальная скорость первой точки 3 м/с. Какова максимальная скорость второй точки, если период её колебаний в 3 раза больше, а амплитуда колебаний в 6 раз больше, чем у первой?

Задача №9.1.4 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\upsilon_{\max1}=3\) м/с, \(T_2=3T_1\), \(A_2=6A_1\), \(\upsilon_{\max2}-?\)

Решение задачи:

Если точка совершает гармонические колебания, то уравнение этих колебаний можно представить в виде:

\[x = A\sin \left( {\omega t} \right)\]

В этой формуле \(A\) — амплитуда колебаний, \(\omega\) — циклическая частота колебаний.

Чтобы найти уравнение скорости точки при этих колебаниях, нужно взять производную от уравнения колебаний. Тогда:

\[x^{\prime} = A\omega \cos \left( {\omega t} \right)\]

Поэтому:

\[\upsilon = A\omega \cos \left( {\omega t} \right)\]

Понятно, что максимальную скорость \(\upsilon_{\max}\) следует искать следующим образом:

\[{\upsilon _{\max }} = A\omega \;\;\;\;(1)\]

Циклическая частота колебаний \(\omega\) и период колебаний \(T\) связаны по известной формуле:

\[\omega = \frac{{2\pi }}{T}\]

Тогда формула (1) примет вид:

\[{\upsilon _{\max }} = \frac{{2\pi A}}{T}\]

Запишем полученную формулу для двух «наших» точек:

\[\left\{ \begin{gathered}
{\upsilon _{\max 1}} = \frac{{2\pi {A_1}}}{{{T_1}}} \hfill \\
{\upsilon _{\max 2}} = \frac{{2\pi {A_2}}}{{{T_2}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Поделим нижнее уравнение на верхнее, тогда получим:

\[\frac{{{\upsilon _{\max 2}}}}{{{\upsilon _{\max 1}}}} = \frac{{{A_2}{T_1}}}{{{A_1}{T_2}}}\]

\[{\upsilon _{\max 2}} = {\upsilon _{\max 1}}\frac{{{A_2}{T_1}}}{{{A_1}{T_2}}}\]

По условию период колебаний второй точки в 3 раза, а амплитуда колебаний в 6 раз больше, чем у первой, то есть \(T_2=3T_1\) и \(A_2=6A_1\), поэтому:

\[{\upsilon _{\max 2}} = {\upsilon _{\max 1}}\frac{{6{A_1} \cdot {T_1}}}{{{A_1} \cdot 3{T_1}}}\]

\[{\upsilon _{\max 2}} = 2{\upsilon _{\max 1}}\]

\[{\upsilon _{\max 2}} = 2 \cdot 3 = 6\;м/с\]

Ответ: 6 м/с.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

9.1.3 За какое время от начала движения точка, колеблющаяся по закону x=7*sin(0,5*pi*t) (м)
9.1.5 За какой промежуток времени маятник, совершающий гармонические колебания
9.1.6 Тело совершает гармонические колебания. Период колебаний 0,15 с, максимальная