Два математических маятника с периодами колебаний 6 и 5 с соответственно одновременно

Условие задачи:

Два математических маятника с периодами колебаний 6 и 5 с соответственно одновременно начинают колебания в одинаковых фазах. Через какое наименьшее время их углы отклонения и направления движения снова будут одинаковыми?

Задача №9.2.6 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(T_1=6\) с, \(T_2=5\) с, \(t-?\)

Решение задачи:

Запишем уравнение гармонических косинусоидальных колебаний:

\[x = A\cos \left( {{\varphi _0} + \omega t} \right)\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(A\) — амплитуда колебаний, \(\varphi _0\) — начальная фаза колебаний, \(\omega\) — циклическая частота колебаний.

Известно, что циклическая частота колебаний \(\omega\) и период колебаний \(T\) связаны по формуле:

\[\omega = \frac{{2\pi }}{T}\;\;\;\;(2)\]

Подставим выражения (2) в уравнение (1):

\[x = A\cos \left( {{\varphi _0} + \frac{{2\pi t}}{T}} \right)\]

Аргумент косинуса называется фазой колебаний.

Запишем это уравнение для двух маятников, учитывая, что начальные фазы у них одинаковы:

\[\left\{ \begin{gathered}
{x_1} = {A_1}\cos \left( {{\varphi _0} + \frac{{2\pi t}}{{{T_1}}}} \right) \hfill \\
{x_2} = {A_2}\cos \left( {{\varphi _0} + \frac{{2\pi t}}{{{T_2}}}} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Так вот, чтобы углы отклонения и направления движения маятников были одинаковыми, нужно чтобы были одинаковыми фазы их колебаний, а именно:

\[\cos \left( {{\varphi _0} + \frac{{2\pi t}}{{{T_1}}}} \right) = \cos \left( {{\varphi _0} + \frac{{2\pi t}}{{{T_2}}}} \right)\]

Решим это уравнение:

\[{\varphi _0} + \frac{{2\pi t}}{{{T_1}}} = {\varphi _0} + \frac{{2\pi t}}{{{T_2}}} + 2\pi k\]

Здесь \(k\) — целое число.

\[\frac{{2\pi t}}{{{T_1}}} = \frac{{2\pi t}}{{{T_2}}} + 2\pi k\]

\[\frac{t}{{{T_1}}} = \frac{t}{{{T_2}}} + k\]

\[t{T_2} = t{T_1} + k{T_1}{T_2}\]

\[t\left( {{T_2} — {T_1}} \right) = k{T_1}{T_2}\]

\[t = \frac{{k{T_1}{T_2}}}{{{T_2} — {T_1}}}\]

Легко найти, что для \(k=-1\) время будет наименьшим и равным:

\[t = \frac{{ — 1 \cdot 6 \cdot 5}}{{5 — 6}} = 30\;с = 0,5\;мин\]

Нетрудно заметить, что найденное время является наименьшим общим кратным (НОК) периодов колебаний маятников.

Ответ: 0,5 мин.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

9.2.5 Какова длина математического маятника, совершающего колебания по закону
9.2.7 Два маятника начинают одновременно совершать колебания. За время первых
9.2.8 При опытном определении ускорения свободного падения учащийся за 5 мин насчитал