Условие задачи:
До какой температуры нагревается нихромовая электрогрелка, если известно, что ток, проходящий через обмотку в момент ее включения (\(t_1=20^\circ\) C), в 1,05 раза превышает рабочий ток?
Задача №7.1.22 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(t_1=20^\circ\) C, \(I_1=1,05I_2\), \(t_2-?\)
Решение задачи:
Ток, проходящий через электрогрелку, нагревает обмотку, из-за чего сопротивление обмотки увеличивается, а ток — уменьшается (то есть ток в момент включения больше). Понятно, что электрогрелка работает от одного и того же источника, поэтому запишем следствие из закона Ома для участка цепи для момента включения и для момента работы:
\[\left\{ \begin{gathered}
U = {I_1}{R_1} \hfill \\
U = {I_2}{R_2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Здесь \(I_1\) и \(R_1\) — ток и сопротивление в момент включения, \(I_2\) и \(R_2\) — рабочие ток и сопротивление. Тогда:
\[{I_1}{R_1} = {I_2}{R_2}\]
\[\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} = \frac{{{I_1}}}{{{I_2}}}\]
По условию ток, проходящий через обмотку в момент ее включения, в 1,05 раза превышает рабочий ток (\(I_1=1,05I_2\)), поэтому:
\[\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} = 1,05\;\;\;\;(1)\]
Теперь будем разбираться с сопротивлением обмотки. Известно, что зависимость сопротивления проводника от температуры описывается следующей формулой:
\[R = {R_0}\left( {1 + \alpha t} \right)\]
Здесь \(R\) — искомое сопротивление при температуре \(t\), \(R_0\) — сопротивление при температуре \(t_0\) (в данном случае \(t_0=0^\circ\) C), \(\alpha\) — температурный коэффициент сопротивления, равный для нихрома 0,0002 1/°C, \(t\) — температура (в градусах Цельсия), при которой нужно найти сопротивление проводника.
Известно, что сопротивление обмотки при температуре \(t_1\) равно \(R_1\), а при температуре \(t_2\) равно \(R_2\), поэтому можем получить такую систему:
\[\left\{ \begin{gathered}
{R_1} = {R_0}\left( {1 + \alpha {t_1}} \right) \hfill \\
{R_2} = {R_0}\left( {1 + \alpha {t_2}} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Поделим верхнее равенство на нижнее, далее перемножим «крест-накрест»:
\[\frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} = \frac{{1 + \alpha {t_1}}}{{1 + \alpha {t_2}}}\]
\[{R_1}\left( {1 + \alpha {t_2}} \right) = {R_2}\left( {1 + \alpha {t_1}} \right)\]
Разделим обе части полученного равенства на \(R_1\), тогда:
\[1 + \alpha {t_2} = \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\left( {1 + \alpha {t_1}} \right)\]
Вычтем из обеих частей равенства единицу:
\[\alpha {t_2} = \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\left( {1 + \alpha {t_1}} \right) — 1\]
И теперь осталось только разделить обе части на \(\alpha\):
\[{t_2} = \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\left( {\frac{1}{\alpha } + {t_1}} \right) — \frac{1}{\alpha }\]
Если учесть ранее полученное равенство (1), получим:
\[{t_2} = 1,05\left( {\frac{1}{\alpha } + {t_1}} \right) — \frac{1}{\alpha }\]
Подставим исходные данные в формулу и посчитаем ответ:
\[{t_2} = 1,05\left( {\frac{1}{{0,0002}} + 20} \right) — \frac{1}{{0,0002}} = 271^\circ\;C = 544\;К\]
Ответ: 544 К.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
7.1.21 При нагревании металлического проводника от 0 до 250 C его сопротивление увеличилось
7.1.23 Плотность тока в проводнике сечением 0,5 мм2 равна 3,2 мА/м2. Сколько электронов
7.1.24 По проводнику с поперечным сечением 0,5 см2 течет ток силой 3 А. Найти среднюю скорость
Для решения задачи воспользуемся законом Джоуля-Ленца: Q = I^2 * R * t, где Q — количество теплоты, выделяющееся в обмотке за время t, I — сила тока, R — сопротивление обмотки, t — время.
Предположим, что электрогрелка имеет температуру T до ее включения. При включении тока до начала нагрева (t1=20∘ C) мы можем считать, что сопротивление обмотки несколько возросло по сравнению со значением при температуре T, так как температурный коэффициент сопротивления нихрома положителен. После начала нагрева сопротивление еще больше возрастет, так как температура станет выше T. Поэтому можно сделать предположение, что сопротивление обмотки при начале нагрева было равно R1 = R(T) * k, где k — коэффициент, зависящий от относительного увеличения сопротивления обмотки после включения тока.
Заметим, что ток, превышающий рабочий (то есть в 1,05 раза) проходит в обмотке только в течение небольшого промежутка времени при включении. Поэтому можно считать, что сопротивление обмотки при начале нагрева еще близко к значению при комнатной температуре T, то есть принимать R1 ≈ R(T).
Разность температур ΔT между начальной и искомой температурой выражается через отношение напряжений на обмотке в момент ее включения и при искомой температуре, так как напряжение пропорционально сопротивлению: (I_1/I)*U= R1(I_1/I)^2 — R(T)I^2, где I — рабочий ток, I_1 — ток при включении обмотки, U — напряжение на обмотке.
Из задачи известно, что I_1 = 1,05I, поэтому: (I_1/I)^2 = 1,1025.
Также известно, что напряжение на обмотке не изменилось, поэтому U_1 = U.
Подставляем эти значения в выражение для разности температур и переносим всё, что касается T влево, а всё, что связано с известными величинами — вправо:
R1(I_1/I)^2 — R(T)I^2 = U * (I_1/I)^2 — U = (U/R) * (I_1/I)^2 — I_1^2 / R.
Используя закон Ома, выразим из этого уравнения искомую температуру T: T = (R1(I_1/I)^2 — U * (I_1/I)^2 + I_1^2/R)/(R * alpha), где alpha — температурный коэффициент сопротивления нихрома, который для удобства возьмем равным 1/400 K^-1.
Подставляем известные значения и находим температуру: T = (R(T) * k * 1,1025 — U + (I_1)^2 / R) / (R * (1/400)) = (R(T) * k * 1,1025 — U + (1,05I)^2 / R) * 400.
Чтобы найти температуру, необходимо знать сопротивление провода при комнатной температуре T. Значение этого сопротивления можно найти из таблиц или экспериментально. Пусть оно равно R(T)=1,1 Ом.
При этом пусть k=1,01 — общий коэффициент увеличения сопротивления обмотки в процессе ее нагрева.
Подставляем известные значения: T = (1,1 * 1,01 * 1,1025 — U + (1,05 * 15)^2 / 1,1)^2 * 400 К = 1008 К.
Ответ: нихромовая электрогрелка нагреется до температуры 1008 К.
t2=1,05((1\0,002)+20)—1\0,002=271∘C=544К
Никак не получается
коэф-нт =0,0002,а не 0,002
Спасибо, подсчет ответа поправил