Решение: Величина прямого изображения предмета вдвое больше самого предмета. Расстояние

Условие задачи:

Величина прямого изображения предмета вдвое больше самого предмета. Расстояние между предметом и изображением равно 20 см. Найдите фокусное расстояние линзы.

Задача №10.5.39 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\Gamma=2\), \(z=20\) см, \(F-?\)

Решение задачи:

Если линза дает прямое изображение, причем изображение больше самого предмета, значит мы имеем дело с собирающей линзой, и предмет расположен правее заднего фокуса линзы, то есть \({d} < {F}\).

Чтобы построить изображение точки A в собирающей линзе, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе в точке C, пройдет через задний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. Так как лучи не пересекаются, то их нужно продлить влево. На пересечении продолжений этих лучей и будет находиться точка A₁. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B₁. Вот и все, изображение построено. Как мы видим, оно получилось мнимым (поскольку получается на расходящемся пучке лучей), прямым и увеличенным (\(\Gamma > 1\)).

Запишем формулу тонкой линзы:

\[\frac{1}{F} = \frac{1}{d} – \frac{1}{f}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(F\) – фокусное расстояние линзы, знак перед ним “+”, поскольку линза – собирающая, \(d\) – расстояние от линзы до предмета, знак перед ним “+”, поскольку предмет – действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), \(f\) – расстояние от линзы до изображения, знак перед ним “-“, поскольку изображение – мнимое (то есть образуется на расходящемся пучке лучей – смотрите рисунок).

Поперечное увеличение предмета в линзе \(\Gamma\) определяют по формуле (это можно вывести из подобия треугольников AOB и A₁OB₁):

\[\Gamma = \frac{f}{d} = \frac{H}{h}\]

Тогда:

\[f = \Gamma d\;\;\;\;(2)\]

Выражение (2) подставим в уравнение (1):

\[\frac{1}{F} = \frac{1}{d} – \frac{1}{{\Gamma d}}\]

В правой части уравнения дроби приведем под общий знаменатель:

\[\frac{1}{F} = \frac{{\Gamma – 1}}{{\Gamma d}}\]

\[F = \frac{{\Gamma d}}{{\Gamma – 1}}\;\;\;\;(3)\]

Из рисунка к задаче хорошо видно, что расстояние между изображением и предметом \(z\) можно найти следующим образом:

\[z = f – d\]

Учитывая выражение (2), имеем:

\[z = \Gamma d – d\]

\[z = d\left( {\Gamma – 1} \right)\]

Тогда расстояние от предмета до линзы \(d\) равно:

\[d = \frac{z}{{\Gamma – 1}}\]

Полученное выражение подставим в формулу (3), окончательно получим следующее:

\[F = \frac{\Gamma }{{\Gamma – 1}} \cdot \frac{z}{{\Gamma – 1}}\]

\[F = \frac{{z\Gamma }}{{{{\left( {\Gamma – 1} \right)}^2}}}\]

Задача решена в общем виде, если подставить в эту формулу значения величин из условия задачи, то мы получим ответ (не забываем переводить эти значения в систему СИ):

\[F = \frac{{0,2 \cdot 2}}{{{{\left( {2 – 1} \right)}^2}}} = 0,4\;м\]