Решение: В водоем на некоторую глубину помещают источник белого света. Показатели преломления

Условие задачи:

В водоем на некоторую глубину помещают источник белого света. Показатели преломления воды для красных и фиолетовых лучей равны соответственно 1,328 и 1,335. Вычислить отношение радиусов кругов, в пределах которых возможен выход красных и фиолетовых лучей в воздух (большего к меньшему).

Задача №10.4.16 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(n_к=1,328\), \(n_ф=1,335\), \(\frac{r_к}{r_ф}-?\)

Решение задачи:

Если лучи от источника белого света будут идти под углами большими, чем угол полного внутреннего отражения, то никакие лучи из воды выходить не будут (см. рисунок к задаче).

Из прямоугольного треугольника можно найти искомый радиус \(r\):

\[r = h \cdot tg{\alpha _{пр}}\;\;\;\;(1)\]

Запишем закон преломления света (также известен как закон преломления Снеллиуса) для случая полного внутреннего отражения при переходе светового луча из воды в воздух:

\[n\sin \alpha_{пр} = {n_0}\sin {\beta}\]

Здесь \(\alpha_{пр}\) – предельный угол полного внутреннего отражения, \(\beta\) – угол преломления, равный в данном случае 90°, \(n\) и \(n_0\) – показатели преломления сред. Показатель преломления воздуха \(n_0\) равен 1, показатель преломления воды \(n\). Так как \(n_0=1\) и \(\sin \beta_0 = 1\), то:

\[n\sin {\alpha _{пр}} = 1\]

\[\sin {\alpha _{пр}} = \frac{1}{n}\]

\[{\alpha _{пр}} = \arcsin \left( {\frac{1}{n}} \right)\]

Полученное выражение подставим в формулу (1):

\[r = h \cdot tg\left( {\arcsin \left( {\frac{1}{n}} \right)} \right)\;\;\;\;(2)\]

Тогда радиусы кругов для красных и фиолетовых лучей \({r_к}\) и \({r_ф}\) можно найти по соответствующим формулам:

\[\left\{ \begin{gathered}
{r_к} = h \cdot tg\left( {\arcsin \left( {\frac{1}{{{n_к}}}} \right)} \right) \hfill \\
{r_ф} = h \cdot tg\left( {\arcsin \left( {\frac{1}{{{n_ф}}}} \right)} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Из формулы (2) видно, что чем меньше показатель преломления \(n\), тем больше радиус круга \(r\). Учитывая то, что \({n_к} < {n_ф}\), значит \({r_к} > {r_ф}\). Тогда в задаче нам нужно найти отношение \(\frac{r_к}{r_ф}\):

\[\frac{{{r_к}}}{{{r_ф}}} = \frac{{tg\left( {\arcsin \left( {\frac{1}{{{n_к}}}} \right)} \right)}}{{tg\left( {\arcsin \left( {\frac{1}{{{n_ф}}}} \right)} \right)}}\]

Задача решена, подставим данные задачи в полученную формулу и посчитаем численный ответ:

\[\frac{{{r_к}}}{{{r_ф}}} = \frac{{tg\left( {\arcsin \left( {\frac{1}{{1,328}}} \right)} \right)}}{{tg\left( {\arcsin \left( {\frac{1}{{1,335}}} \right)} \right)}} = 1,01\]