Решение: Под каким углом должен падать луч на поверхность стекла, чтобы угол преломления был

Условие задачи:

Под каким углом должен падать луч на поверхность стекла, чтобы угол преломления был в 2 раза меньше угла падения?

Задача №10.3.13 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\beta = \frac{\alpha}{2}\), \(\alpha-?\)

Решение задачи:

Запишем закон преломления света (также известен как закон преломления Снеллиуса):

\[{n_1}\sin \alpha = {n_2}\sin \beta \]

Здесь \(\alpha\) и \(\beta\) – угол падения и угол преломления соответственно, \(n_1\) и \(n_2\) – показатели преломления сред. Показатель преломления воздуха \(n_1\) равен 1, показатель преломления стекла \(n_2\) равен 1,5.

По условию задачи угол преломления был в 2 раза меньше угла падения, то есть \(\beta = \frac{\alpha}{2}\), тогда:

\[{n_1}\sin \alpha = {n_2}\sin \frac{\alpha }{2}\;\;\;\;(1)\]

Из тригонометрии известно, что (формула синуса двойного угла):

\[\sin \alpha = 2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}\]

Это выражение подставим в формулу (1):

\[{n_1} \cdot 2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2} = {n_2}\sin \frac{\alpha }{2}\]

\[2{n_1}\cos \frac{\alpha }{2} = {n_2}\]

\[\cos \frac{\alpha }{2} = \frac{{{n_2}}}{{2{n_1}}}\]

\[\frac{\alpha }{2} = \arccos \left( {\frac{{{n_2}}}{{2{n_1}}}} \right)\]

\[\alpha = 2\arccos \left( {\frac{{{n_2}}}{{2{n_1}}}} \right)\]

Посчитаем численный ответ:

\[\alpha = 2 \cdot \arccos \left( {\frac{{1,5}}{{2 \cdot 1}}} \right) = 82,8^\circ \]