Решение: В однородном магнитном поле с индукцией 0,4 Тл равномерно вращается рамка

Условие задачи:

В однородном магнитном поле с индукцией 0,4 Тл равномерно вращается рамка, имеющая 100 витков обмотки. Определить максимальное значение ЭДС в рамке, контур которой охватывает площадь 8 см². Период вращения рамки 0,05 с.

Задача №8.4.8 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(B=0,4\) Тл, \(N=100\), \(S=8\) см², \(T=0,05\) с, \(\rm E_{imax}-?\)

Решение задачи:

В общем случае магнитный поток \(\Phi\) через некоторую плоскую поверхность, помещённую в однородном магнитном поле, можно определить по такой формуле:

\[\Phi = BS\cos \alpha \;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(B\) — индукция магнитного поля, \(S\) — площадь поверхности, через которую определяется магнитный поток, \(\alpha\) — угол между нормалью к площадке и вектором магнитной индукции.

Если учесть, что рамка имеет \(N\) витков обмотки, при этом сама рамка вращается в поле с некоторой угловой скоростью \(\omega\), то формула (1) примет следующий вид:

\[\Phi = NBS\cos \omega t\]

Согласно закону Фарадея для электромагнитной индукции, ЭДС индукции, возникающая в контуре при изменении магнитного потока, пересекающего этот контур, равна по модулю скорости изменения магнитного потока (то есть первой производной функции изменения потока от времени):

\[{\rm E_i} = — \Phi ^\prime \left( t \right)\]

Тогда:

\[{{\rm E}_i} = — {\left( {NBS\cos \omega t} \right)^\prime }\]

\[{{\rm E}_i} = NBS\omega \sin \omega t\]

Очевидно, что ЭДС индукции достигнет своего максимального значения, когда синус будет равен единице, поэтому:

\[{{\rm E}_{imax }} = NBS\omega \]

Угловая скорость вращения \(\omega\) связана с периодом вращения \(T\) по такой формуле:

\[\omega = \frac{{2\pi }}{T}\]

В итоге, окончательно получим такую формулу:

\[{{\rm E}_{imax }} = \frac{{2\pi NBS}}{T}\]

Посчитаем численный ответ:

\[{{\rm E}_{imax }} = \frac{{2 \cdot 3,14 \cdot 100 \cdot 0,4 \cdot 8 \cdot {{10}^{ — 4}}}}{{0,05}} = 4\;В\]