Решение: Рамка из 1000 витков площадью 5 см2, замкнутая на гальванометр с сопротивлением 10 кОм

Условие задачи:

Рамка из 1000 витков площадью 5 см², замкнутая на гальванометр с сопротивлением 10 кОм, находится в однородном магнитном поле с индукцией 10 мТл. Какой заряд протечет в цепи, если направление магнитного поля изменить на обратное?

Задача №8.4.9 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(N=1000\), \(S=5\) см², \(R=10\) кОм, \(B=10\) мТл, \(q-?\)

Решение задачи:

В общем случае магнитный поток \(\Phi\) через некоторую плоскую поверхность, помещённую в однородном магнитном поле, можно определить по такой формуле:

\[\Phi = BS\cos \alpha \;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(B\) — индукция магнитного поля, \(S\) — площадь поверхности, через которую определяется магнитный поток, \(\alpha\) — угол между нормалью к площадке и вектором магнитной индукции.

Если учесть, что рамка имеет \(N\) витков обмотки, то формула (1) примет следующий вид:

\[\Phi = NBS\cos \alpha \]

Примем, что плоскость рамки перпендикулярна вектору магнитной индукции, то есть угол \(\alpha\) равен 0°, поскольку иного не сказано в условии. Начальное направление вектора магнитной индукции меняют на противоположное, запишем формулы для определения начального \(\Phi_1\) и конечного \(\Phi_2\) значений магнитного потока:

\[\left\{ \begin{gathered}
{\Phi _1} = NBS \hfill \\
{\Phi _2} = — NBS \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Вполне очевидно, что изменение магнитного потока \(\Delta \Phi\) равно:

\[\Delta \Phi = 2NBS\;\;\;\;(2)\]

Понятно, что из-за изменения магнитного потока в рамке будет возникать ЭДС индукции. Согласно закону Фарадея для электромагнитной индукции, ЭДС индукции, возникающая в контуре при изменении магнитного потока, пересекающего этот контур, равна по модулю скорости изменения магнитного потока. Поэтому:

\[{{\rm E}_i} = \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\]

Подставим в полученную формулу выражение (2) (откинем символ изменения времени «дельта»):

\[{{\rm E}_i} = \frac{{2NBS}}{t}\;\;\;\;(3)\]

С другой стороны, из закона Ома следует, что:

\[{{\rm E}_i} = IR\;\;\;\;(4)\]

В этой формуле \(I\) — сила тока в рамке \(R\) — сопротивление гальванометра, с которым соединена катушка.

Приравняем (3) и (4), тогда:

\[\frac{{2NBS}}{t} = IR\]

Домножим обе части уравнения на время \(t\):

\[2NBS = ItR\]

Произведение силы тока \(I\) на время \(t\) даёт искомый протекший через рамку заряд \(q\), значит:

\[2NBS = qR\]