Решение: Электрон и протон, двигаясь с одинаковыми скоростями, влетают в однородное магнитное

Условие задачи:

Электрон и протон, двигаясь с одинаковыми скоростями, влетают в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции. Во сколько раз отличаются радиусы кривизны их траекторий?

Задача №8.2.3 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\alpha=90^\circ\), \(\frac{R_p}{R_e}-?\)

Решение задачи:

В общем случае на заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действует сила Лоренца \(F_Л\), которую определяет следующая формула:

\[{F_Л} = B\upsilon q\sin \alpha \;\;\;\;(1)\]

Здесь \(B\) — индукция магнитного поля, \(\upsilon\) — скорость частицы, \(q\) — модуль заряда частицы, \(\alpha\) — угол между вектором скорости и вектором магнитной индукции.

Направление действия силы Лоренца определяется правилом левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы линии магнитной индукции входили в нее, а четыре вытянутых пальца направить по направлению движения положительного заряда (или против направления отрицательного заряда), то большой палец, оставленный на 90°, покажет направление силы Лоренца. Из этого правила следует, что траектории движения электрона и протона будут искривлены в разные стороны.

Сила Лоренца \(F_Л\) сообщает заряженной частице центростремительное ускорение \(a_ц\), поэтому из второго закона Ньютона следует, что:

\[{F_Л} = m{a_ц}\;\;\;\;(2)\]

Центростремительное ускорение \(a_ц\) можно определить через скорость частицы \(\upsilon\) и радиус кривизны траектории \(R\) по формуле:

\[{a_ц} = \frac{{{\upsilon ^2}}}{R}\;\;\;\;(3)\]

Подставим (3) в (2), тогда:

\[{F_Л} = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{R}\;\;\;\;(4)\]

Приравняем правые части (1) и (4):

\[B\upsilon q\sin \alpha = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{R}\]

Имеем:

\[Bq\sin \alpha = \frac{{m\upsilon }}{R}\]

\[R = \frac{{m\upsilon }}{{Bq\sin \alpha }}\]

Запишем полученную формулу применительно для определения радиуса кривизны траектории электрона \(R_e\) и протона \(R_p\) (модули зарядов электрона и протона одинаковы и равны \(e\)):

\[\left\{ \begin{gathered}
{R_p} = \frac{{{m_p}\upsilon }}{{Be\sin \alpha }} \hfill \\
{R_e} = \frac{{{m_e}\upsilon }}{{Be\sin \alpha }} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Тогда искомое отношение \(\frac{R_p}{R_e}\) равно:

\[\frac{{{R_p}}}{{{R_e}}} = \frac{{{m_p}}}{{{m_e}}}\]

Масса протона \(m_p\) равна 1,672·10^-27 кг, а масса электрона \(m_e\) — 9,1·10^-31 кг, поэтому численный ответ равен:

\[\frac{{{R_p}}}{{{R_e}}} = \frac{{1,672 \cdot {{10}^{ — 27}}}}{{9,1 \cdot {{10}^{ — 31}}}} = 1837,4\]