Два электрона ускоряются из состояния покоя электрическим полем с разностью потенциалов

Условие задачи:

Два электрона ускоряются из состояния покоя электрическим полем с разностью потенциалов 100 и 50 В. Электроны попадают в однородное магнитное поле, линии индукции которого перпендикулярны их скорости. Чему равно отношение радиусов кривизны траекторий первого и второго электронов в магнитном поле?

Задача №8.2.5 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(U_1=100\) В, \(U_2=50\) В, \(\alpha=90^\circ\), \(\frac{R_1}{R_2}-?\)

Решение задачи:

На электрон, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца \(F_Л\), которую определяет следующая формула:

\[{F_Л} = B\upsilon e\sin \alpha \;\;\;\;(1)\]

Здесь \(B\) — индукция магнитного поля, \(\upsilon\) — скорость электрона, \(e\) — модуль заряда электрона, \(\alpha\) — угол между вектором скорости и вектором магнитной индукции.

Направление действия силы Лоренца определяется правилом левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы линии магнитной индукции входили в нее, а четыре вытянутых пальца направить по направлению движения положительного заряда (или против направления отрицательного заряда, как в нашем случае), то большой палец, оставленный на 90°, покажет направление силы Лоренца. В нашем случае (при таком направлении вектора магнитной индукции) сила Лоренца направлена вправо.

Сила Лоренца \(F_Л\) сообщает электрону центростремительное ускорение \(a_ц\), поэтому из второго закона Ньютона следует, что:

\[{F_Л} = {m_e}{a_ц}\;\;\;\;(2)\]

Центростремительное ускорение \(a_ц\) можно определить через скорость \(\upsilon\) и радиус кривизны траектории \(R\) по формуле:

\[{a_ц} = \frac{{{\upsilon ^2}}}{R}\;\;\;\;(3)\]

Подставим (3) в (2), тогда:

\[{F_Л} = \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{R}\;\;\;\;(4)\]

Приравняем правые части (1) и (4):

\[B\upsilon e\sin \alpha = \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{R}\]

Имеем:

\[Be\sin \alpha = \frac{{{m_e}\upsilon }}{R}\]

\[R = \frac{{{m_e}\upsilon }}{{Be\sin \alpha }}\;\;\;\;(5)\]

Электроны ускоряются электрическим полем с разностью потенциалов \(U\), из закона сохранения энергии следует:

\[eU = \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{2}\]

Выразим из этой формулы неизвестную скорость электрона \(\upsilon\):

\[\upsilon = \sqrt {\frac{{2eU}}{{{m_e}}}} \;\;\;\;(6)\]

Осталось только подставить выражение (6) в формулу (5):

\[R = \frac{{{m_e}}}{{Be\sin \alpha }}\sqrt {\frac{{2eU}}{{{m_e}}}} \]

\[R = \frac{{\sqrt {2{m_e}eU} }}{{Be\sin \alpha }}\]

Тогда радиусы кривизны \(R_1\) и \(R_2\) можно найти так:

\[\left\{ \begin{gathered}
{R_1} = \frac{{\sqrt {2{m_e}e{U_1}} }}{{Be\sin \alpha }} \hfill \\
{R_2} = \frac{{\sqrt {2{m_e}e{U_2}} }}{{Be\sin \alpha }} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Поэтому искомое отношение \(\frac{R_1}{R_2}\) равно:

\[\frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} = \frac{{\sqrt {{U_1}} }}{{\sqrt {{U_2}} }}\]

\[\frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} = \sqrt {\frac{{{U_1}}}{{{U_2}}}} \]

Посчитаем ответ:

\[\frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} = \sqrt {\frac{{100}}{{50}}} = 1,41\]

Ответ: 1,41.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

8.2.4 Протон влетает в однородное магнитное поле с индукцией 20 мкТл перпендикулярно линиям
8.2.6 Электрон влетает в однородное магнитное поле с индукцией 0,004 Тл так, что направление
8.2.7 Во сколько раз изменится радиус траектории движения заряженной частицы в циклотроне