Решение: За четверо суток масса радиоактивного элемента уменьшилась в два раза. Определите

Условие задачи:

За четверо суток масса радиоактивного элемента уменьшилась в два раза. Определите период полураспада этого элемента.

Задача №11.8.10 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(t=4\) сут, \(m=\frac{m_0}{2}\), \(T-?\)

Решение задачи:

Согласно закону радиоактивного распада, число нераспавшихся ядер \(N\), содержащихся в образце в произвольный момент времени \(t\), можно определить через начальное число ядер в образце \(N_0\) и период полураспада \(T\), по следующей зависимости:

\[N = {N_0} \cdot {2^{ – \frac{t}{T}}}\;\;\;\;(1)\]

Покажем, что этот же закон можно записать через массы, а не количества ядер (атомов). Для этого запишем две формулы определения количества вещества \(\nu\):

\[\left\{ \begin{gathered}
\nu = \frac{N}{{{N_А}}} \hfill \\
\nu = \frac{m}{M} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Здесь \(N_А\) – постоянная Авогадро, \(M\) – молярная масса вещества. Тогда:

\[\frac{N}{{{N_А}}} = \frac{m}{M}\]

\[m = N\frac{M}{{{N_А}}}\]

Отсюда видно, что массу можно найти через количество атомов, умножив на некоторое число, которое постоянно для каждого вещества. Поэтому формулу (1) можно записать в виде:

\[m = {m_0} \cdot {2^{ – \frac{t}{T}}}\]

По условию задачи \(m=\frac{m_0}{2}\) или \(\frac{m}{m_0}=\frac{1}{2}\), значит:

\[\frac{1}{2} = {2^{ – \frac{t}{T}}}\]

\[{2^{ – 1}} = {2^{ – \frac{t}{T}}}\]

Откуда имеем:

\[\frac{t}{T} = 1\]

\[T = t\]

\[T = 4\;сут = 96\;ч\]