Решение: Какая доля радиоактивных ядер некоторого элемента распадается за время, равное

Условие задачи:

Какая доля радиоактивных ядер некоторого элемента распадается за время, равное половине периода полураспада?

Задача №11.8.12 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(t=\frac{T}{2}\), \(\alpha-?\)

Решение задачи:

Согласно закону радиоактивного распада, число нераспавшихся ядер \(N\), содержащихся в образце в произвольный момент времени \(t\), можно определить через начальное число ядер в образце \(N_0\) и период полураспада \(T\), по следующей зависимости:

\[N = {N_0} \cdot {2^{ — \frac{t}{T}}}\;\;\;\;(1)\]

Число распавшихся ядер \(\Delta N\), очевидно, можно найти следующим образом:

\[\Delta N = {N_0} — N\;\;\;\;(2)\]

Подставим выражение (1) в формулу (2), тогда:

\[\Delta N = {N_0} — {N_0} \cdot {2^{ — \frac{t}{T}}}\]

\[\Delta N = {N_0}\left( {1 — {2^{ — \frac{t}{T}}}} \right)\;\;\;\;(3)\]

Понятно, что долю распавшихся ядер \(\alpha\) можно определить по формуле:

\[\alpha = \frac{{\Delta N}}{{{N_0}}}\;\;\;\;(4)\]

Подставим выражение (3) в формулу (4), тогда:

\[\alpha = 1 — {2^{ — \frac{t}{T}}}\]

По условию задачи время \(t\) равно половине периода полураспада, то есть \(t=\frac{T}{2}\), поэтому:

\[\alpha = 1 — {2^{ — \frac{T}{{2T}}}}\]