Радиоактивный изотоп 6C14 в старом куске дерева составляет 0,125 массы этого изотопа

Условие задачи:

Радиоактивный изотоп \(_{6}^{14}C\) в старом куске дерева составляет 0,125 массы этого изотопа в живых растениях. Каков возраст этого куска дерева, если период полураспада изотопа углерода 5570 лет?

Задача №11.8.8 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(_{6}^{14}C\), \(m=0,125m_0\), \(T=5570\) лет, \(t-?\)

Решение задачи:

Мне не совсем нравится условие этой задачи, если бы было написано, что изотоп углерода составляет 0,125 массы этого изотопа в живом дереве, то было бы гораздо понятнее (и правильнее, как я думаю).

Согласно закону радиоактивного распада, число нераспавшихся ядер \(N\), содержащихся в образце в произвольный момент времени \(t\), можно определить через начальное число ядер в образце \(N_0\) и период полураспада \(T\), по следующей зависимости:

\[N = {N_0} \cdot {2^{ — \frac{t}{T}}}\;\;\;\;(1)\]

Покажем, что этот же закон можно записать через массы, а не количества ядер (атомов). Для этого запишем две формулы определения количества вещества \(\nu\):

\[\left\{ \begin{gathered}
\nu = \frac{N}{{{N_А}}} \hfill \\
\nu = \frac{m}{M} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Здесь \(N_А\) — постоянная Авогадро, \(M\) — молярная масса вещества. Тогда:

\[\frac{N}{{{N_А}}} = \frac{m}{M}\]

\[m = N\frac{M}{{{N_А}}}\]

Отсюда видно, что массу можно найти через количество атомов, умножив на некоторое число, которое постоянно для каждого вещества. Поэтому формулу (1) можно записать в виде:

\[m = {m_0} \cdot {2^{ — \frac{t}{T}}}\]

По условию задачи \(m=0,125m_0\) или \(\frac{m}{m_0}=0,125\), значит:

\[0,125 = {2^{ — \frac{t}{T}}}\]

\[{2^{ — 3}} = {2^{ — \frac{t}{T}}}\]

Откуда имеем:

\[\frac{t}{T} = 3\]

\[t = 3T\]

\[t = 3 \cdot 5570 = 16710\;лет\]

Ответ: 16710 лет.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

11.8.7 Период полураспада радия 1600 лет. Через какое время число атомов уменьшится в четыре
11.8.9 Имеется 8 кг радиоактивного цезия. Определить массу нераспавшегося цезия после 135 лет
11.8.10 За четверо суток масса радиоактивного элемента уменьшилась в два раза. Определите