Условие задачи:
Некий радиоактивный препарат имеет период полураспада \(T\) с. Через какое время распадется 75% первоначального количества атомов?
Задача №11.8.16 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(T\), \(\alpha=0,75\), \(t-?\)
Решение задачи:
Согласно закону радиоактивного распада, число нераспавшихся ядер \(N\), содержащихся в образце в произвольный момент времени \(t\), можно определить через начальное число ядер в образце \(N_0\) и период полураспада \(T\), по следующей зависимости:
\[N = {N_0} \cdot {2^{ – \frac{t}{T}}}\;\;\;\;(1)\]
Число распавшихся ядер \(\Delta N\), очевидно, можно найти следующим образом:
\[\Delta N = {N_0} – N\;\;\;\;(2)\]
Подставим выражение (1) в формулу (2), тогда:
\[\Delta N = {N_0} – {N_0} \cdot {2^{ – \frac{t}{T}}}\]
\[\Delta N = {N_0}\left( {1 – {2^{ – \frac{t}{T}}}} \right)\;\;\;\;(3)\]
Понятно, что долю распавшихся ядер \(\alpha\) можно определить по формуле:
\[\alpha = \frac{{\Delta N}}{{{N_0}}}\;\;\;\;(4)\]
Подставим выражение (3) в формулу (4), тогда:
\[\alpha = 1 – {2^{ – \frac{t}{T}}}\]
\[{2^{ – \frac{t}{T}}} = 1 – \alpha \]
Прологарифмируем обе части это уравнения:
\[\ln {2^{ – \frac{t}{T}}} = \ln \left( {1 – \alpha } \right)\]
\[ – \frac{t}{T}\ln 2 = \ln \left( {1 – \alpha } \right)\]
В итоге мы получим такую окончательную формулу:
\[t = \frac{{ – T \cdot \ln \left( {1 – \alpha } \right)}}{{\ln 2}}\]
По условию задачи распадется 75% первоначального количества атомов, то есть \(\alpha=0,75\), поэтому:
\[t = \frac{{ – T \cdot \ln \left( {1 – 0,75} \right)}}{{\ln 2}}\]
\[t = \frac{{ – T \cdot \ln 0,25}}{{\ln 2}}\]
\[t = \frac{{ – T \cdot \ln {2^{ – 2}}}}{{\ln 2}}\]
\[t = \frac{{ – T \cdot \left( { – 2} \right) \cdot \ln 2}}{{\ln 2}}\]
\[t = 2T\]
Ответ: \(2T\).
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
11.8.15 Какая часть атомов радиоактивного кобальта 27Co58 распадается за 18 суток, если период
11.8.17 За 10 суток из 1000 ядер радиоактивного изотопа распалось 750 ядер. Найти период
11.8.18 Имеется 4 г радиоактивного кобальта. Сколько граммов кобальта распадается за 216 суток