Решение: Фотон с длиной волны 300 нм вырывает с поверхности металла электрон, который

Условие задачи:

Фотон с длиной волны 300 нм вырывает с поверхности металла электрон, который описывает в однородном магнитном поле с индукцией 1 мТл окружность радиусом 3 мм. Найти работу выхода электрона.

Задача №11.2.35 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\lambda=300\) нм, \(B=1\) мТл, \(R=3\) мм, \(A_{вых}-?\)

Решение задачи:

Согласно уравнению Эйнштейна для фотоэффекта энергия поглощенного фотона \(h\nu\) идет на совершение работы выхода \(A_{вых}\) и на сообщение кинетической энергии вылетевшему электрону \(\frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{2}\). Поэтому:

\[h\nu = {A_{вых}} + \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{2}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(h\) — это постоянная Планка, равная 6,62·10^-34 Дж·с, \(m_e\) — масса электрона, равная 9,1·10^-31 кг.

Частоту колебаний \(\nu\) можно выразить через скорость света \(c\), которая равна 3·10⁸ м/с, и длину волны \(\lambda\) по следующей формуле:

\[\nu = \frac{c}{\lambda}\;\;\;\;(2)\]

Подставим выражение (2) в формулу (1), тогда:

\[\frac{{hc}}{\lambda } = {A_{вых}} + \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{2}\;\;\;\;(3)\]

На электрон, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца \(F_Л\), которую определяет следующая формула:

\[{F_Л} = B\upsilon e\sin \alpha \;\;\;\;(4)\]

Здесь \(B\) — индукция магнитного поля, \(\upsilon\) — скорость электрона, \(e\) — модуль заряда электрона (\(e=1,6 \cdot 10^{-19}\) Кл), \(\alpha\) — угол между вектором скорости и вектором магнитной индукции (в данном случае \(\alpha=90^{\circ}\)).

Направление действия силы Лоренца определяется правилом левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы линии магнитной индукции входили в нее, а четыре вытянутых пальца направить по направлению движения положительного заряда (или против направления отрицательного заряда, как в нашем случае), то большой палец, оставленный на 90°, покажет направление силы Лоренца. В нашем случае (при таком направлении вектора магнитной индукции) сила Лоренца направлена вправо.

Сила Лоренца \(F_Л\) сообщает электрону центростремительное ускорение \(a_ц\), поэтому из второго закона Ньютона следует, что:

\[{F_Л} = {m_e}{a_ц}\;\;\;\;(5)\]

Центростремительное ускорение \(a_ц\) можно определить через скорость \(\upsilon\) и радиус кривизны траектории \(R\) по формуле:

\[{a_ц} = \frac{{{\upsilon ^2}}}{R}\;\;\;\;(6)\]

Подставим (6) в (5), тогда:

\[{F_Л} = \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{R}\;\;\;\;(7)\]

Приравняем правые части (4) и (7):

\[B\upsilon e\sin \alpha = \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{R}\]

\[Be\sin \alpha = \frac{{{m_e}\upsilon }}{R}\]

Имеем:

\[\upsilon = \frac{{BeR\sin \alpha }}{{{m_e}}}\]

Полученное выражение подставим в уравнение (3):

\[\frac{{hc}}{\lambda } = {A_{вых}} + \frac{{{m_e}}}{2} \cdot \frac{{{B^2}{e^2}{R^2}{{\sin }^2}\alpha }}{{m_e^2}}\]

\[\frac{{hc}}{\lambda } = {A_{вых}} + \frac{{{B^2}{e^2}{R^2}{{\sin }^2}\alpha }}{{2{m_e}}}\]

Откуда окончательно получим формулу для нахождения искомой работы выхода \(A_{вых}\):

\[{A_{вых}} = \frac{{hc}}{\lambda } — \frac{{{B^2}{e^2}{R^2}{{\sin }^2}\alpha }}{{2{m_e}}}\]

\[{A_{вых}} = \frac{{2{m_e}hc — {B^2}{e^2}{R^2}\lambda {{\sin }^2}\alpha }}{{2{m_e}\lambda }}\]

Численный ответ равен:

\[{A_{вых}} = \frac{{2 \cdot 9,1 \cdot {{10}^{ — 31}} \cdot 6,62 \cdot {{10}^{ — 34}} \cdot 3 \cdot {{10}^8} — {{\left( {{{10}^{ — 3}}} \right)}^2} \cdot {{\left( {1,6 \cdot {{10}^{ — 19}}} \right)}^2} \cdot {{0,003}^2} \cdot 300 \cdot {{10}^{ — 9}} \cdot {{\sin }^2}90^\circ }}{{2 \cdot 9,1 \cdot {{10}^{ — 31}} \cdot 300 \cdot {{10}^{ — 9}}}} = 5,35 \cdot {10^{ — 19}}\;Дж\]