Решение: При увеличении частоты света, которым облучают изолированный металлический шарик, максимальная

Условие задачи:

При увеличении частоты света, которым облучают изолированный металлический шарик, максимальная скорость фотоэлектронов увеличится в два раза. Во сколько раз изменится заряд шарика?

Задача №11.2.37 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\upsilon_2=2 \upsilon_1\), \(\frac{q_2}{q_1}-?\)

Решение задачи:

Заряд металлического шарика при фотоэффекте не может возрастать бесконечно. Когда фотон света вырвет первый электрон, то заряд шарика станет положительным и равным \(e\) (это модуль заряда электрона, равный 1,6·10^-19 Кл), а электрон удалится от шарика на бесконечное расстояние. При дальнейшем облучении шарика его заряд будет возрастать и настанет момент, когда вырванные электроны будут обратно притягиваться к шарику. При этом граничное условие для электрона, который ещё сможет вырваться навсегда из шарика и не вернется обратно к нему, по закону сохранения энергии можно записать:

\[ — \frac{{kqe}}{R} + \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{2} = 0\]

В этой формуле \(k\) — постоянная в законе Кулона, равная 9·10⁹ Н·м²/Кл², \(R\) — радиус шарика, \(q\) — конечный (максимальный) заряд шарика, \(m_e\) — масса электрона, равная 9,1·10^-31 кг, \(\upsilon\) — скорость электрона при выходе из атома. Знак «-» показывает знак заряда электрона.

То есть изначально у электрона (в момент выхода из атома металла) есть потенциальная энергия взаимодействия с заряженным шариком и кинетическая энергия, а на бесконечности энергии нет.

\[\frac{{kqe}}{R} = \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{2}\]

Запишем это уравнение для двух случаев, описанных в условии задачи:

\[\left\{ \begin{gathered}
\frac{{k{q_1}e}}{R} = \frac{{{m_e}\upsilon _1^2}}{2} \hfill \\
\frac{{k{q_2}e}}{R} = \frac{{{m_e}\upsilon _2^2}}{2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Поделим нижнее уравнение на верхнее, чтобы найти искомое отношение \(\frac{q_2}{q_1}\):

\[\frac{{{q_2}}}{{{q_1}}} = {\left( {\frac{{{\upsilon _2}}}{{{\upsilon _1}}}} \right)^2}\]

По условию задачи максимальная скорость фотоэлектронов увеличится в два раза, то есть \(\upsilon_2=2 \upsilon_1\), поэтому:

\[\frac{{{q_2}}}{{{q_1}}} = {\left( {\frac{{2{\upsilon _1}}}{{{\upsilon _1}}}} \right)^2} = 4\]