Условие задачи:
Заряженный конденсатор замкнули на катушку индуктивности. Через какое время после подключения энергия в конденсаторе окажется равной энергии в катушке индуктивности?
Задача №9.9.7 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(W_C=W_L\), \(t-?\)
Решение задачи:
Так как электромагнитные колебания в контуре начинаются с того, что заряженный конденсатор подключают с катушкой, то уравнение колебаний заряда в таком случае можно представить в виде:
\[q = q_m \cos \left( {\omega t} \right)\;\;\;\;(1)\]
В этой формуле \(q_m\) — амплитуда колебаний заряда конденсатора (по сути — начальный заряд конденсатора), \(\omega\) — циклическая частота колебаний.
Если взять производную от уравнения (1), то получим уравнение колебаний силы тока в контуре:
\[I = — q_m \omega \sin \left( {\omega t} \right)\;\;\;\;(2)\]
В условии сказано, что нам нужно найти время, когда энергия в конденсаторе окажется равной энергии в катушке индуктивности (в первый раз):
\[{W_C} = {W_L}\]
\[\frac{{{q^2}}}{{2C}} = \frac{{L{I^2}}}{2}\]
Учитывая (1) и (2), получим:
\[\frac{{q_m^2{{\cos }^2}\left( {\omega t} \right)}}{{2C}} = \frac{{Lq_m^2{\omega ^2}{{\sin }^2}\left( {\omega t} \right)}}{2}\]
\[\frac{{{{\cos }^2}\left( {\omega t} \right)}}{{2C}} = \frac{{L{\omega ^2}{{\sin }^2}\left( {\omega t} \right)}}{2}\;\;\;\;(3)\]
Циклическую частоту колебаний \(\omega\) в электромагнитном контуре определяют по формуле:
\[\omega = \frac{1}{{\sqrt {LC} }}\]
В этой формуле \(L\) — индуктивность катушки, \(C\) — электроемкость конденсатора.
Подставим это выражение в формулу (3):
\[\frac{{{{\cos }^2}\left( {\omega t} \right)}}{{2C}} = \frac{{L{{\sin }^2}\left( {\omega t} \right)}}{{2LC}}\]
\[{\cos ^2}\left( {\omega t} \right) = {\sin ^2}\left( {\omega t} \right)\]
\[{\cos ^2}\left( {\omega t} \right) — {\sin ^2}\left( {\omega t} \right) = 0\]
\[\cos \left( {2\omega t} \right) = 0\]
\[2\omega t = \frac{\pi }{2}\;\;\;\;(4)\]
Также циклическую частоту колебаний \(\omega\) можно определить по формуле:
\[\omega = \frac{{2\pi }}{T}\]
В таком случае уравнение (4) примет вид:
\[\frac{{4\pi t}}{T} = \frac{\pi }{2}\]
\[t = \frac{T}{8}\]
\[t = 0,125T\]
Ответ: \(t = 0,125T\).
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
9.9.6 В колебательном контуре индуктивность катушки равна 0,2 Гн. Амплитуда силы тока
9.9.8 В электрическом колебательном контуре индуктивность катушки 4 мГн, а максимальный
9.10.1 Сила тока изменяется по формуле I=8,5*sin(314t+0,651) (А). Определить