Решение: Уравнение колебаний материальной точки имеет вид x=0,02*sin(pi*t/2+pi/4)

Условие задачи:

Уравнение колебаний материальной точки имеет вид \(x = 0,02\sin \left( {\frac{{\pi t}}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)\) (м). Каково максимальное ускорение точки?

Задача №9.1.19 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(x = 0,02\sin \left( {\frac{{\pi t}}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)\), \(a_{\max}-?\)

Решение задачи:

Чтобы найти уравнение ускорения точки при этих колебаниях, нужно дважды взять производную от данного в условии уравнения колебаний. Сначала возьмем первую производную:

\[{x^\prime } = 0,02 \cdot \frac{\pi }{2} \cdot \cos \left( {\frac{{\pi t}}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)\]

Теперь берем вторую производную:

\[{x^{\prime \prime }} = — 0,02 \cdot \frac{{{\pi ^2}}}{4} \cdot \sin \left( {\frac{{\pi t}}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)\]

То есть мы имеем:

\[a = — 0,02 \cdot \frac{{{\pi ^2}}}{4} \cdot \sin \left( {\frac{{\pi t}}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)\]

Понятно, что максимальное по модулю значение ускорения в таком случае равно:

\[{a_{\max }} = — 0,02 \cdot \frac{{{\pi ^2}}}{4} = 0,05\;м/с^2 = 5\;см/с^2\]