Материальная точка совершает гармонические колебания с периодом 0,5 с. Амплитуда

Условие задачи:

Материальная точка совершает гармонические колебания с периодом 0,5 с. Амплитуда колебания 0,9 м. Движение точки начинается из положения \(x_0=30\) см. Определить смещение точки через 4 с после начала движения.

Задача №9.1.18 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(T=0,5\) с, \(A=0,9\) м, \(x_0=30\) см, \(t=4\) с, \(x-?\)

Решение задачи:

Если материальная точка совершает гармонические колебания, то уравнение этих колебаний можно представить в виде:

\[x = A\sin \left( {{\varphi _0} + \omega t} \right)\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(A\) — амплитуда колебаний, \(\varphi _0\) — начальная фаза колебаний, \(\omega\) — циклическая частота колебаний.

Нам известно, что движение точки начинается из положения \(x_0\), то есть в момент времени \(t=0\) с, точка имеет координату \(x_0\), поэтому:

\[{x_0} = A\sin {\varphi _0}\]

Откуда начальная фаза \(\varphi _0\) равна:

\[{\varphi _0} = \arcsin \left( {\frac{{{x_0}}}{A}} \right)\;\;\;\;(2)\]

Также известно, что циклическая частота колебаний \(\omega\) и период колебаний \(T\) связаны по формуле:

\[\omega = \frac{{2\pi }}{T}\;\;\;\;(3)\]

Подставим выражения (2) и (3) в уравнение (1):

\[x = A\sin \left( {\arcsin \left( {\frac{{{x_0}}}{A}} \right) + \frac{{2\pi t}}{T}} \right)\]

Теперь мы уже сможем ответить на вопрос задачи. Посчитаем численный ответ:

\[x = 0,9 \cdot \sin \left( {\arcsin \left( {\frac{{0,3}}{{0,9}}} \right) + \frac{{2 \cdot 3,14 \cdot 4}}{{0,5}}} \right) = 0,3\;м = 30\;см\]

Вообще, ответ был очевиден. Видно, что за время \(t\) точка выполнит целое число колебаний \(\frac{t}{T} = \frac{4}{{0,5}} = 8\), поэтому и понятно, что она окажется в том же месте с координатой \(x_0\).

Ответ: 30 см.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

9.1.17 При фазе pi/3 смещение частицы, колеблющейся по закону косинуса, было равно 1 см
9.1.19 Уравнение колебаний материальной точки имеет вид x=0,02*sin(pi*t/2+pi/4)
9.1.20 Маятник массой 5 кг и длиной 0,8 м совершает колебательное движение с амплитудой