Маятник массой 5 кг и длиной 0,8 м совершает колебательное движение с амплитудой

Условие задачи:

Маятник массой 5 кг и длиной 0,8 м совершает колебательное движение с амплитудой 0,4 м. Определить скорость движения маятника, когда он пройдет путь 10 см от положения равновесия.

Задача №9.1.20 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m=5\) кг, \(l=0,8\) м, \(A=0,4\) м, \(S=10\) см, \(\upsilon-?\)

Решение задачи:

Отметим сразу, что эту задачу можно решить с помощью закона сохранения энергии, но этот путь мы оставим для пытливого читателя. Поскольку этот раздел называется «Колебания и волны», то мы решим эту задачу другим способом. Запишем уравнение гармонических колебаний:

\[x = A\sin \left( {\omega t} \right)\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(A\) — амплитуда колебаний, \(\omega\) — циклическая частота колебаний.

Циклическую частоту \(\omega\) для колебаний математического маятника можно найти по формуле (из формулы Гюйгенса):

\[\omega = \sqrt {\frac{g}{l}} \;\;\;\;(2)\]

Здесь мы делаем первое допущение, это формула справедлива только для колебаний, при которых угол отклонения нити маятника от вертикали мал. В нашем же случае этот угол равен 30° (\(\arcsin \left( {\frac{{0,4}}{{0,8}}} \right) = 30^\circ\)). Конечно, это немного снизит точность решения.

С помощью уравнения (1) и формулы (2) мы сможем найти время, за которое маятник пройдет путь \(S\):

\[S = A \cdot \sin \left( {\sqrt {\frac{g}{l}} t} \right)\]

\[\arcsin \left( {\frac{S}{A}} \right) = \sqrt {\frac{g}{l}} t\]

\[t = \arcsin \left( {\frac{S}{A}} \right) \cdot \sqrt {\frac{l}{g}} \;\;\;\;(3)\]

А вот тут мы сделали второе допущение. Всё-таки то, что маятник прошёл путь \(S\) вовсе не означает, что в этот момент он будет иметь координату, равную \(S\). Это верно лишь при малых угла отклонения маятника.

Возьмем производную от уравнения (1), чтобы получить уравнение скорости:

\[{x^\prime } = A\omega \cos \left( {\omega t} \right)\]

То есть мы имеем:

\[\upsilon = A\omega \cos \left( {\omega t} \right)\]

Учитывая (2) и (3), окончательно получим:

\[\upsilon = A\sqrt {\frac{g}{l}} \cos \left( {\sqrt {\frac{g}{l}} \cdot \arcsin \left( {\frac{S}{A}} \right) \cdot \sqrt {\frac{l}{g}} } \right)\]

\[\upsilon = A\sqrt {\frac{g}{l}} \cos \left( {\arcsin \left( {\frac{S}{A}} \right)} \right)\]

Задача решена, вот такой интересный формульный ответ мы получили. Посчитаем численный ответ этой задачи:

\[\upsilon = 0,4 \cdot \sqrt {\frac{{10}}{{0,8}}} \cdot \cos \left( {\arcsin \left( {\frac{{0,1}}{{0,4}}} \right)} \right) = 1,4\;м/с\]

Если бы решали через закон сохранения энергии, то получили бы такой же ответ.

Ответ: 1,4 м/с.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

9.1.19 Уравнение колебаний материальной точки имеет вид x=0,02*sin(pi*t/2+pi/4)
9.1.21 Тело совершает гармонические синусоидальные колебания с нулевой начальной фазой
9.1.22 Материальная точка совершает синусоидальные колебания с амплитудой 8 см