Решение: Резонанс в колебательном контуре с конденсатором 1 мкФ наступает при частоте

Условие задачи:

Резонанс в колебательном контуре с конденсатором 1 мкФ наступает при частоте 400 Гц. Когда параллельно этому конденсатору подключают второй, резонансная частота становится 100 Гц. Найти емкость второго конденсатора.

Задача №9.12.4 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(C_0=1\) мкФ, \(\nu_1=400\) Гц, \(\nu_2=100\) Гц, \(C-?\)

Решение задачи:

Резонансная частота равна собственной частоте колебаний этого колебательного контура, поэтому её можно определить по формуле:

\[\nu = \frac{1}{{2\pi \sqrt {LC} }}\]

В этой формуле \(L\) — индуктивность катушки, \(C\) — электроемкость конденсатора.

Известно, что при параллельном соединении конденсаторов их эквивалентная емкость равна сумме емкостей каждого из конденсаторов. Учитывая это, запишем две формулы для определения частот \(\nu_1\) и \(\nu_2\):

\[\left\{ \begin{gathered}
{\nu _1} = \frac{1}{{2\pi \sqrt {L{C_0}} }} \hfill \\
{\nu _2} = \frac{1}{{2\pi \sqrt {L\left( {{C_0} + C} \right)} }} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Разделим верхнее равенство на нижнее, тогда мы получим:

\[\frac{{{\nu _1}}}{{{\nu _2}}} = \sqrt {\frac{{{C_0} + C}}{{{C_0}}}} \]

Возведем в квадрат обе части полученного равенства, тогда:

\[\frac{{\nu _1^2}}{{\nu _2^2}} = \frac{{{C_0} + C}}{{{C_0}}}\]

Перемножим «крест-накрест», а потом раскроем скобки в левой части:

\[\nu _2^2\left( {{C_0} + C} \right) = \nu _1^2{C_0}\]

\[\nu _2^2{C_0} + \nu _2^2C = \nu _1^2{C_0}\]

В левой части оставим слагаемое с искомой неизвестной емкостью \(C\), остальное перенесем в правую сторону:

\[\nu _2^2C = \nu _1^2{C_0} — \nu _2^2{C_0}\]

\[\nu _2^2C = {C_0}\left( {\nu _1^2 — \nu _2^2} \right)\]

В конце концов мы получим следующее решение задачи в общем виде:

\[C = {C_0}\frac{{\nu _1^2 — \nu _2^2}}{{\nu _2^2}}\]