Решение: Батарею из двух одинаковых конденсаторов емкостью 10 нФ каждый, заряженную

Условие задачи:

Батарею из двух одинаковых конденсаторов емкостью 10 нФ каждый, заряженную от источника постоянного напряжения 200 В, подключают к катушке индуктивностью 8 мкГн. Определите силу тока в колебательном контуре через 0,31 мкс после подключения к катушке. Конденсаторы соединены параллельно.

Задача №9.7.19 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(C_0=10\) нФ, \(U_m=200\) В, \(L=8\) мкГн, \(t=0,31\) мкс, \(I-?\)

Решение задачи:

Так как изначально конденсаторы заряжены, а ток через катушку отсутствовал, то ток в таком колебательном контуре будет изменяться по закону синуса:

\[I = {I_m}\sin \left( {\omega t} \right)\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(I_m\) — амплитудное значение силы тока в контуре, \(\omega\) — циклическая частота колебаний в контуре.

Если электроемкость одного конденсатора равна \(C_0\), то в случае параллельного подключения двух таких конденсаторов их общая емкость будет равна \(C\), которую можно определить по формулам:

\[{C} = {C_0} + {C_0} = 2{C_0}\]

Амплитудное значение силы тока в контуре \(I_m\) найдем, используя закон сохранения энергии (сразу учтем, что \(C = 2C_0\)):

\[\frac{{2{C_0}U_m^2}}{2} = \frac{{LI_m^2}}{2}\]

\[{I_m} = {U_m}\sqrt {\frac{{2{C_0}}}{L}}\;\;\;\;(2)\]

Циклическую частоту колебаний в контуре \(\omega\) можно найти по формуле:

\[\omega = \sqrt {\frac{1}{{LC}}} \]

Учитывая, что \(C = 2C_0\), имеем:

\[\omega = \frac{1}{{\sqrt {2L{C_0}} }}\;\;\;\;(3)\]

Подставим выражения (2) и (3) в формулу (1):

\[I = {U_m}\sqrt {\frac{{2{C_0}}}{L}} \sin \left( {\frac{t}{{\sqrt {2L{C_0}} }}} \right)\]

Задача решена в общем виде, теперь посчитаем численный ответ:

\[I = 200 \cdot \sqrt {\frac{{2 \cdot 10 \cdot {{10}^{ — 9}}}}{{8 \cdot {{10}^{ — 6}}}}} \sin \left( {\frac{{0,31 \cdot {{10}^{ — 6}}}}{{\sqrt {2 \cdot 8 \cdot {{10}^{ — 6}} \cdot 10 \cdot {{10}^{ — 9}}} }}} \right) = 7\;А\]