Решение: Стальной шар, падая свободно, достиг скорости 41 м/с и, ударившись о землю

Условие задачи:

Стальной шар, падая свободно, достиг скорости 41 м/с и, ударившись о землю, подскочил на высоту 1,6 м. Определите изменение температуры шара при ударе, считая, что при ударе меняется только внутренняя энергия шара. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Задача №5.3.13 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\upsilon=41\) м/с, \(h=1,6\) м, \(\Delta t-?\)

Решение задачи:

Нулевой уровень потенциальной энергии выберем на уровне поверхности Земли.

При ударе часть начальной кинетической энергии \(E_{к0}\) перейдёт во внутреннюю (изменение внутренней энергии равно количеству теплоты \(Q\)), но часть — останется в виде кинетической \(E_{к}\), которая в ходе дальнейшего движения до высоты \(h\) перейдёт в потенциальную \(E_{п}\). Запишем закон сохранения энергии (ЗСЭ) для момента удара и для движения после удара:

\[\left\{ \begin{gathered}
{E_{к0}} = Q + {E_к} \hfill \\
{E_к} = {E_п} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Эти два равенства, очевидно, можно записать в виде одного:

\[{E_{к0}} = Q + {E_п}\]

Распишем начальную кинетическую энергию \(E_{к0}\), количество теплоты \(Q\), необходимое для изменения температуры стального шара на неизвестную величину \(\Delta t\), потенциальную энергию \(E_{п}\) на высоте \(h\) по известным формулам, тогда получим:

\[\frac{{m{\upsilon ^2}}}{2} = cm\Delta t + mgh\]

Удельная теплоёмкость стали \(c\) равна 460 Дж/(кг·°C). Сократим массу \(m\) в обеих частях уравнения:

\[\frac{{{\upsilon ^2}}}{2} = c\Delta t + gh\]

Откуда искомое изменение температуры \(\Delta t\) найдём по формуле:

\[\Delta t = \frac{{{\upsilon ^2} — 2gh}}{{2c}}\]

Произведём вычисления:

\[\Delta t = \frac{{{{41}^2} — 2 \cdot 10 \cdot 1,6}}{{2 \cdot 460}} = 1,8^\circ\;C = 1,8\;К\]