Решение: Определить ток короткого замыкания источника питания, если при тока 15 А он отдает

Условие задачи:

Определить ток короткого замыкания источника питания, если при токе 15 А он отдает во внешнюю цепь мощность 135 Вт, а при токе 6 А — мощность 64,8 Вт.

Задача №7.4.36 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(I_1=15\) А, \(P_1=135\) Вт, \(I_2=6\) А, \(P_2=64,8\) Вт, \(I_{кз}-?\)

Решение задачи:

Ток короткого замыкания \(I_{кз}\) определяют по формуле:

\[{I_{кз}} = \frac{{\rm E}}{r}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(\rm E\) — ЭДС источника питания, а \(r\) — его внутреннее сопротивление.

Запишем формулы для определения мощностей \(P_1\) и \(P_2\):

\[\left\{ \begin{gathered}
{P_1} = {U_1}{I_1} \hfill \\
{P_2} = {U_2}{I_2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Напряжения на внешней цепи \(U_1\) и \(U_2\) можно найти по закону Ома для полной цепи:

\[\left\{ \begin{gathered}
{U_1} = {\rm E} — {I_1}r \hfill \\
{U_2} = {\rm E} — {I_2}r \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Тогда:

\[\left\{ \begin{gathered}
{P_1} = \left( {{\rm E} — {I_1}r} \right){I_1} \hfill \\
{P_2} = \left( {{\rm E} — {I_2}r} \right){I_2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Или, если раскрыть скобки в правой части:

\[\left\{ \begin{gathered}
{P_1} = {\rm E}{I_1} — I_1^2r \hfill \\
{P_2} = {\rm E}{I_2} — I_2^2r \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Вот с этой системой нам и нужно будет поработать. Домножим обе части верхнего равенства на \(I_2^2\), а нижнего — на \(I_1^2\), тогда:

\[\left\{ \begin{gathered}
{P_1}I_2^2 = {\rm E}{I_1}I_2^2 — I_1^2I_2^2r \hfill \\
{P_2}I_1^2 = {\rm E}{I_2}I_1^2 — I_1^2I_2^2r \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Вычтем из нижнего равенства верхнее:

\[{P_2}I_1^2 — {P_1}I_2^2 = {\rm E}{I_2}I_1^2 — {\rm E}{I_1}I_2^2\]

\[{P_2}I_1^2 — {P_1}I_2^2 = {\rm E}{I_1}{I_2}\left( {{I_1} — {I_2}} \right)\]

Откуда ЭДС равна:

\[{\rm E} = \frac{{{P_2}I_1^2 — {P_1}I_2^2}}{{{I_1}{I_2}\left( {{I_1} — {I_2}} \right)}}\;\;\;\;(2)\]

Возвращаемся опять к нашей системе (над которой мы хотели хорошо поработать). Домножим обе части верхнего равенства на \(I_2\), а нижнего — на \(I_1\), тогда:

\[\left\{ \begin{gathered}
{P_1}{I_2} = {\rm E}{I_1}{I_2} — I_1^2{I_2}r \hfill \\
{P_2}{I_1} = {\rm E}{I_1}{I_2} — I_2^2{I_1}r \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Опять, вычтем из нижнего равенства верхнее:

\[{P_2}{I_1} — {P_1}{I_2} = I_1^2{I_2}r — I_2^2{I_1}r\]

\[{P_2}{I_1} — {P_1}{I_2} = {I_1}{I_2}r\left( {{I_1} — {I_2}} \right)\]

Откуда внутреннее сопротивление равно:

\[r = \frac{{{P_2}{I_1} — {P_1}{I_2}}}{{{I_1}{I_2}\left( {{I_1} — {I_2}} \right)}}\;\;\;\;(3)\]

Подставим выражения (2) и (3) в формулу (1), тогда получим:

\[{I_{кз}} = \frac{{{P_2}I_1^2 — {P_1}I_2^2}}{{{P_2}{I_1} — {P_1}{I_2}}}\]

Задача решена в общем виде, подставим данные задачи в полученную формулу и посчитаем ответ:

\[{I_{кз}} = \frac{{64,8 \cdot {{15}^2} — 135 \cdot {6^2}}}{{64,8 \cdot 15 — 135 \cdot 6}} = 60\;А\]