Решение: Тонкая рассеивающая линза создает изображение предмета, находящегося в ее фокальной

Условие задачи:

Тонкая рассеивающая линза создает изображение предмета, находящегося в ее фокальной плоскости. Найдите высоту изображения, если высота предмета равна 2 см.

Задача №10.5.47 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(d=F\), \(h=2\) см, \(H-?\)

Решение задачи:

Чтобы построить изображение точки A в рассеивающей линзе, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе в точке C, пойдет дальше таким образом, что его продолжение влево пройдет через передний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. На пересечении этих лучей и будет находиться точка A₁. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B₁. Вот и все, изображение построено. Как мы видим, оно получилось мнимым (поскольку получается на расходящемся пучке лучей), прямым и уменьшенным (\(\Gamma < 1\)).

Запишем формулу тонкой линзы:

\[ – \frac{1}{F} = \frac{1}{d} – \frac{1}{f}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(F\) – фокусное расстояние линзы, знак перед ним “-“, поскольку линза – рассеивающая, \(d\) – расстояние от линзы до предмета, знак перед ним “+”, поскольку предмет – действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), \(f\) – расстояние от линзы до изображения, знак перед ним “-“, поскольку изображение – мнимое (то есть образуется на расходящемся пучке лучей – смотрите рисунок).

Так как по условию задачи предмет находится в фокальной плоскости линзы, то есть \(d=F\), то уравнение (1) примет следующий вид:

\[ – \frac{1}{F} = \frac{1}{F} – \frac{1}{f}\]

\[\frac{2}{F} = \frac{1}{f}\]

\[f = \frac{F}{2}\]

Поперечное увеличение предмета в линзе \(\Gamma\) определяют по формуле (это можно вывести из подобия треугольников AOB и A₁OB₁):

\[\Gamma = \frac{f}{d} = \frac{H}{h}\]

Тогда:

\[H = h\frac{f}{d}\]

Так как мы получили, что \(f=\frac{F}{2}\) и по условию \(d=F\), то:

\[H = h\frac{F}{{2F}}\]

\[H = \frac{h}{2}\]

Численный ответ задачи: