Собирающая линза дает прямое изображение предмета с увеличением Γ=2

Условие задачи:

Собирающая линза дает прямое изображение предмета с увеличением Γ=2. Расстояние между предметом и изображением 22,5 см. Найдите фокусное расстояние линзы.

Задача №10.5.5 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\Gamma=2\), \(z=22,5\) см, \(F-?\)

Решение задачи:

Известно, что собирающая линза дает прямое изображение предмета, когда предмета расположен между линзой и передним фокусом линзы, то есть \({d} < {F}\).

Чтобы построить изображение точки A в собирающей линзе, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе, пройдет через задний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. Так как лучи не пересекаются, то их нужно продлить влево. На пересечении продолжений этих лучей и будет находиться точка A₁. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B₁. Вот и все, изображение построено. Как мы видим, оно получилось мнимым (поскольку получается на расходящемся пучке лучей), прямым и увеличенным (\(\Gamma > 1\)).

Поперечное увеличение предмета в линзе \(\Gamma\) определяют по формуле (это можно вывести из подобия треугольников AOB и A₁OB₁):

\[\Gamma = \frac{f}{d}\]

Тогда:

\[f = \Gamma d\;\;\;\;(1)\]

Запишем формулу тонкой линзы:

\[\frac{1}{F} = \frac{1}{d} – \frac{1}{f}\;\;\;\;(2)\]

В этой формуле \(F\) – фокусное расстояние линзы, знак перед ней “+”, поскольку линза – собирающая, \(d\) – расстояние от линзы до предмета, знак перед ним “+”, поскольку предмет – действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), \(f\) – расстояние от линзы до изображения, знак перед ним “-“, поскольку изображение – мнимое (то есть образуется на расходящемся пучке лучей – смотрите рисунок).

Подставим выражение (1) в формулу (2):

\[\frac{1}{F} = \frac{1}{d} – \frac{1}{{\Gamma d}}\]

Приведем под общий знаменатель в правой части полученного уравнения:

\[\frac{1}{F} = \frac{{\Gamma – 1}}{{\Gamma d}}\]

Тогда:

\[F = \frac{{\Gamma d}}{{\Gamma – 1}}\;\;\;\;(3)\]

Из рисунка хорошо видно, что расстояние между предметом и изображением \(z\) можно выразить следующим образом:

\[z = f – d\]

Учитывая (1), имеем:

\[z = \Gamma d – d\]

\[z = d\left( {\Gamma – 1} \right)\]

Поэтому:

\[d = \frac{z}{{\Gamma – 1}}\;\;\;\;(4)\]

Полученное выражение (4) подставим в формулу (3):

\[F = \frac{\Gamma }{{\Gamma – 1}} \cdot \frac{z}{{\Gamma – 1}}\]

Окончательно получим такое решение задачи в общем виде:

\[F = \frac{{z\Gamma }}{{{{\left( {\Gamma – 1} \right)}^2}}}\]

Численный ответ этой задачи равен (не забываем переводить численные значения в систему СИ):

\[F = \frac{{0,225 \cdot 2}}{{{{\left( {2 – 1} \right)}^2}}} = 0,45\;м = 45\;см\]

Ответ: 45 см.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

10.5.4 На каком расстоянии от собирающей линзы с фокусным расстоянием 20 см получится
10.5.6 На каком расстоянии от выпуклой линзы с фокусным расстоянием 32 см следует поместить
10.5.7 Линза дает увеличение предмета в три раза, если предмет находится на расстоянии 10 см