Решение: С самолета, летящего на высоте 12 км, сфотографирована местность в масштабе 1:16000

Условие задачи:

С самолета, летящего на высоте 12 км, сфотографирована местность в масштабе 1:16000. Каково фокусное расстояние объектива?

Задача №10.5.68 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(d=12\) км, \(\Gamma=\frac{1}{16000}\), \(F-?\)

Решение задачи:

В фотоаппарате установлена собирающая линза, поскольку только она может давать действительное изображение. При этом, очевидно, что предмет расположен левее относительно переднего фокуса линзы (\({d} > {F}\)).

Чтобы построить изображение точки A в собирающей линзе, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе, пройдет через задний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. На пересечении этих лучей и будет находиться точка A₁. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B₁. Вот и все, изображение построено. Как мы видим, оно получилось действительным (поскольку получается на сходящемся пучке лучей), перевернутым и уменьшенным (так как \({d} > {2F}\)).

Запишем формулу тонкой линзы:

\[\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(F\) – фокусное расстояние линзы, знак перед ним “+”, поскольку линза – собирающая, \(d\) – расстояние от линзы до предмета, знак перед ним “+”, поскольку предмет – действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), \(f\) – расстояние от линзы до изображения, знак перед ним “+”, поскольку изображение – действительное (то есть образуется на сходящемся пучке лучей – смотрите рисунок).

Из подобия треугольников AOB и A₁OB₁ по трем углам следует, что (при этом эти две дроби ещё равны и поперечному увеличению (хотя в этом случае корректнее назвать уменьшением) линзы \(\Gamma\)):

\[\Gamma = \frac{f}{d} = \frac{h}{H}\]

\[\Gamma = \frac{f}{d}\;\;\;\;(2)\]

Тогда из формулы (1) выразим неизвестное расстояние от линзы до изображения \(f\):

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{F} – \frac{1}{d}\]

\[\frac{1}{f} = \frac{{d – F}}{{dF}}\]

\[f = \frac{{dF}}{{d – F}}\;\;\;\;(2)\]

Подставим выражение (3) в формулу (2):

\[\Gamma = \frac{{dF}}{{d\left( {d – F} \right)}}\]

\[\Gamma = \frac{F}{{d – F}}\]

Чтобы найти искомое фокусное расстояние фотоаппарата, нам нужно решить полученное уравнение:

\[F = \Gamma \left( {d – F} \right)\]

Раскроем скобки в правой части уравнения: