Решение: Расстояние между предметом и экраном равно 120 см. На каком максимальном расстоянии

Условие задачи:

Расстояние между предметом и экраном равно 120 см. На каком максимальном расстоянии от предмета следует поместить собирающую линзу с фокусным расстоянием 25 см, чтобы на экране получилось отчетливое изображение предмета?

Задача №10.5.25 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(z=120\) см, \(F=25\) см, \(d_{\max}-?\)

Решение задачи:

Чтобы построить изображение точки A в собирающей линзе, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе, пройдет через задний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. На пересечении этих лучей и будет находиться точка A₁. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B₁. Вот и все, изображение построено. Как мы видим, оно получилось действительным (поскольку получается на сходящемся пучке лучей) и перевернутым.

Запишем формулу тонкой линзы:

\[\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(F\) – фокусное расстояние линзы, знак перед ним “+”, поскольку линза – собирающая, \(d\) – расстояние от линзы до предмета, знак перед ним “+”, поскольку предмет – действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), \(f\) – расстояние от линзы до изображения, знак перед ним “+”, поскольку изображение – действительное (то есть образуется на сходящемся пучке лучей – смотрите рисунок).

Из рисунка видно, что данное в условии расстояние между предметом и экраном (изображением) \(z\) можно выразить следующим образом:

\[z = d + f\]

Имеем:

\[f = z – d\;\;\;\;(2)\]

Тогда уравнение (1) с учетом выражения (2) примет вид:

\[\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{{z – d}}\]

Приведем правую часть уравнения под общий знаменатель:

\[\frac{1}{F} = \frac{{z – d + d}}{{d\left( {z – d} \right)}}\]

\[\frac{1}{F} = \frac{z}{{d\left( {z – d} \right)}}\]

Перемножим “крест-накрест”, раскроем скобки и перенесем все в одну сторону:

\[zF = d\left( {z – d} \right)\]

\[zF = dz – {d^2}\]

\[{d^2} – zd + zF = 0\]

Мы получили квадратное уравнение относительно \(d\), для его решения сначала вычислим дискриминант \(D_{диск}\):

\[{D_{диск}} = {z^2} – 4zF\]

Дискриминант явно больше нуля (Вы можете это проверить, подставив численные значения из условия задачи). Значит:

\[d = \frac{{z \pm \sqrt {{z^2} – 4zF} }}{2}\]

Так как в условии просят найти максимальное расстояние от предмета до линзы, поэтому мы выбираем корень со знаком “+”. Окончательно получим такое решение этой задачи в общем виде:

\[d_{\max} = \frac{{z + \sqrt {{z^2} – 4zF} }}{2}\]

Посчитаем численный ответ задачи:

\[d_{\max} = \frac{{1,2 + \sqrt {{{1,2}^2} – 4 \cdot 1,2 \cdot 0,25} }}{2} = 0,845\;м\]