Решение: Линзой с оптической силой 4 дптр надо получить увеличенное в 5 раз мнимое изображение

Условие задачи:

Линзой с оптической силой 4 дптр надо получить увеличенное в 5 раз мнимое изображение предмета. На каком расстоянии перед линзой надо поместить предмет?

Задача №10.5.40 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(D=4\) дптр, \(\Gamma=5\), \(d-?\)

Решение задачи:

Собирающая линза дает увеличенное мнимое изображение предмета, если предмет расположен правее заднего фокуса линзы, то есть \({d} < {F}\).

Чтобы построить изображение точки A в собирающей линзе, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе в точке C, пройдет через задний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. Так как лучи не пересекаются, то их нужно продлить влево. На пересечении продолжений этих лучей и будет находиться точка A₁. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B₁. Вот и все, изображение построено. Как мы видим, оно получилось мнимым (поскольку получается на расходящемся пучке лучей), прямым и увеличенным (\(\Gamma > 1\)).

Запишем формулу тонкой линзы:

\[D = \frac{1}{d} — \frac{1}{f}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(D\) — оптическая сила линзы, это положительная величина, поскольку линза — собирающая, \(d\) — расстояние от линзы до предмета, знак перед ним «+», поскольку предмет — действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), \(f\) — расстояние от линзы до изображения, знак перед ним «-«, поскольку изображение — мнимое (то есть образуется на расходящемся пучке лучей — смотрите рисунок).

Поперечное увеличение предмета в линзе \(\Gamma\) определяют по формуле (это можно вывести из подобия треугольников AOB и A₁OB₁):

\[\Gamma = \frac{f}{d} = \frac{H}{h}\]

Тогда:

\[f = \Gamma d\;\;\;\;(2)\]

Выражение (2) подставим в уравнение (1):

\[D = \frac{1}{d} — \frac{1}{{\Gamma d}}\]

В правой части уравнения дроби приведем под общий знаменатель:

\[D = \frac{{\Gamma — 1}}{{\Gamma d}}\]

Осталось только выразить искомое расстояние от линзы до предмета \(d\):

\[d = \frac{{\Gamma — 1}}{{D\Gamma }}\]

Задача решена в общем виде, если подставить в эту формулу значения величин из условия задачи, то мы получим ответ (не забываем переводить эти значения в систему СИ):

\[d = \frac{{5 — 1}}{{4 \cdot 5}} = 0,2\;м = 20\;см\]