Горизонтально расположенный закрытый цилиндрический сосуд

Условие задачи:

Горизонтально расположенный закрытый цилиндрический сосуд с гладкими стенками разделен тонким подвижным теплопроводящим поршнем на две части, в которых находятся равные массы различных идеальных газов: в одной части газ с молярной массой \(\mu_1\), в другой — с молярной массой \(\mu_2\). Какую часть объема сосуда занимает газ с молярной массой \(\mu_1\) при равновесном положении поршня?

Задача №4.3.41 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m\), \(\mu_1\), \(\mu_2\), \(\frac{V_1}{V}-?\)

Решение задачи:

Для решения этой задачи приведем простейший рисунок.

Во-первых, поскольку поршень находится в равновесном положении, и стенки сосуда гладкие, то согласно первому закону Ньютона имеем:

\[{p_1}S = {p_2}S\]

\[{p_1} = {p_2} = {p}\]

Также, так как поршень является теплопроводящим, то при равновесии поршня температуры левой и правой части будут равны:

\[{T_1} = {T_2} = T\]

А теперь запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для обоих газов, учитывая, что равны их давления и температуры, исходя из наших рассуждений выше:

\[\left\{ \begin{gathered}
p{V_1} = \frac{m}{{{\mu _1}}}RT \hfill \\
p{V_2} = \frac{m}{{{\mu _2}}}RT \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Сложим оба уравнения:

\[p\left( {{V_1} + {V_2}} \right) = \left( {\frac{m}{{{\mu _1}}} + \frac{m}{{{\mu _2}}}} \right)RT\]

Обозначим общий объем сосуда \(V\), тогда \(V=V_1+V_2\), значит:

\[pV = \left( {\frac{m}{{{\mu _1}}} + \frac{m}{{{\mu _2}}}} \right)RT\]

Чтобы найти искомое отношение \(\frac{V_1}{V}\), поделим первое уравнение Клапейрона-Менделеева на полученное нами выражение:

\[\frac{{{V_1}}}{V} = \frac{{\frac{m}{{{\mu _1}}}}}{{\frac{m}{{{\mu _1}}} + \frac{m}{{{\mu _2}}}}}\]

\[\frac{{{V_1}}}{V} = \frac{{\frac{1}{{{\mu _1}}}}}{{\frac{{{\mu _1} + {\mu _2}}}{{{\mu _1}{\mu _2}}}}} = \frac{{{\mu _1}{\mu _2}}}{{{\mu _1}\left( {{\mu _1} + {\mu _2}} \right)}} = \frac{{{\mu _2}}}{{{\mu _1} + {\mu _2}}}\]

Ответ: \(\frac{{{\mu _2}}}{{{\mu _1} + {\mu _2}}}\).

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

4.3.40 В каком из изображенных на рисунке процессов, проведенных
4.3.42 На рисунке изображены гиперболы для трех идеальных газов с одинаковыми массами
4.3.43 На рисунке изображены гиперболы для трех идеальных газов с разными массами