Решение: Циклотрон предназначен для ускорения протонов до энергии 5 МэВ. Определить

Условие задачи:

Циклотрон предназначен для ускорения протонов до энергии 5 МэВ. Определить наибольший радиус орбиты, по которой движется протон, если индукция магнитного поля 1 Тл.

Задача №8.2.18 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(W=5\) МэВ, \(B=1\) Тл, \(R-?\)

Решение задачи:

На протон, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца \(F_Л\), которую определяет следующая формула:

\[{F_Л} = B\upsilon e\sin \alpha \;\;\;\;(1)\]

Здесь \(B\) — индукция магнитного поля, \(\upsilon\) — скорость протона, \(e\) — модуль заряда протона, \(\alpha\) — угол между вектором скорости и вектором магнитной индукции (примем равным 90°, так как иного не сказано в условии).

Направление действия силы Лоренца определяется правилом левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы линии магнитной индукции входили в нее, а четыре вытянутых пальца направить по направлению движения положительного заряда (или против направления отрицательного заряда), то большой палец, оставленный на 90°, покажет направление силы Лоренца. В нашем случае (при таком направлении вектора магнитной индукции) сила Лоренца направлена влево.

Сила Лоренца \(F_Л\) сообщает протону центростремительное ускорение \(a_ц\), поэтому из второго закона Ньютона следует, что:

\[{F_Л} = {m_p}{a_ц}\;\;\;\;(2)\]

Центростремительное ускорение \(a_ц\) можно определить через скорость \(\upsilon\) и радиус кривизны траектории \(R\) по формуле:

\[{a_ц} = \frac{{{\upsilon ^2}}}{R}\;\;\;\;(3)\]

Подставим (3) в (2), тогда:

\[{F_Л} = \frac{{{m_p}{\upsilon ^2}}}{R}\;\;\;\;(4)\]

Приравняем правые части (1) и (4):

\[B\upsilon e\sin \alpha = \frac{{{m_p}{\upsilon ^2}}}{R}\]

Имеем:

\[Be\sin \alpha = \frac{{{m_p}\upsilon }}{R}\]

\[R = \frac{{{m_p}\upsilon }}{{Be\sin \alpha }}\;\;\;\;(5)\]

Кинетическая энергия протона \(W\) равна:

\[W = \frac{{{m_p}{\upsilon ^2}}}{2}\]

Выразим из этой формулы неизвестную скорость протона \(\upsilon\):

\[\upsilon = \sqrt {\frac{{2W}}{{{m_p}}}} \;\;\;\;(6)\]

Осталось только подставить выражение (6) в формулу (5):

\[R = \frac{{{m_p}}}{{Be\sin \alpha }}\sqrt {\frac{{2W}}{{{m_p}}}} \]

\[R = \frac{{\sqrt {2W{m_p}} }}{{Be\sin \alpha }}\]

Напомним, что масса протона \(m_p\) равна 1,672·10^-27 кг, а его заряд \(e\) равен 1,6·10^-19 Кл. Также заметим, что 1 эВ равен 1,6·10^-19 Дж.Численный ответ равен:

\[R = \frac{{\sqrt {2 \cdot 5 \cdot {{10}^6} \cdot 1,6 \cdot {{10}^{ — 19}} \cdot 1,672 \cdot {{10}^{ — 27}}} }}{{1 \cdot 1,6 \cdot {{10}^{ — 19}} \cdot \sin 90^\circ }} = 0,32\;м\]