Условие задачи:
Из провода длиной 2 м сделан квадрат, который находится в поле индукцией 50 мкТл. Сопротивление провода 0,1 Ом. Какое количество электричества пройдет по проводу, если его потянуть за противоположные вершины так, чтобы он сложился? Плоскость квадрата перпендикулярна вектору магнитной индукции.
Задача №8.4.20 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(l=2\) м, \(B=50\) мкТл, \(R=0,1\) Ом, \(\beta=90^\circ\), \(q-?\)
Решение задачи:
В общем случае магнитный поток \(\Phi\) через некоторую плоскую поверхность, помещённую в однородном магнитном поле, можно определить по такой формуле:
\[\Phi = BS\cos \alpha\]
В этой формуле \(B\) — индукция магнитного поля, \(S\) — площадь поверхности, через которую определяется магнитный поток, \(\alpha\) — угол между нормалью к площадке и вектором магнитной индукции.
Если квадратную рамку тянут за противоположные вершины так, что он складывается, значит конечная площадь рамки (а значит и магнитный поток через неё) равна нулю. Поэтому изменение магнитного потока \(\Delta \Phi\) равно начальному магнитному потоку, то есть:
\[\Delta \Phi = BS\cos \alpha \;\;\;\;(1)\]
Понятно, что если угол между линиями магнитного поля и плоскостью рамки равен \(\beta\), то угол \(\alpha\) равен \(\left( {90^\circ — \beta } \right)\).
Если длина провода (то есть периметр квадратной рамки) равен \(l\), значит сторона рамки равна \(\frac{l}{4}\). Значит площадь рамки \(S\) равна:
\[S = \frac{l^2}{16}\]
Формула (1) в таком случае примет вид:
\[\Delta \Phi = \frac{{B{l^2}\cos \left( {{{90}^\circ } — \beta } \right)}}{{16}}\]
\[\Delta \Phi = \frac{{B{l^2}\sin \beta }}{{16}}\;\;\;\;(2)\]
Понятно, что из-за изменения магнитного потока в рамке будет возникать ЭДС индукции. Согласно закону Фарадея для электромагнитной индукции, ЭДС индукции, возникающая в контуре при изменении магнитного потока, пересекающего этот контур, равна по модулю скорости изменения магнитного потока. Поэтому:
\[{{\rm E}_i} = \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\]
Подставим в полученную формулу выражение (2) (откинем символ изменения времени «дельта»):
\[{{\rm E}_i} = \frac{{B{l^2}\sin \beta }}{16t}\;\;\;\;(3)\]
С другой стороны, из закона Ома следует, что:
\[{{\rm E}_i} = IR\;\;\;\;(4)\]
В этой формуле \(I\) — сила тока в рамке, \(R\) — сопротивление рамки.
Приравняем (3) и (4), тогда:
\[\frac{{B{l^2}\sin \beta }}{16t} = IR\]
Домножим обе части уравнения на \(16t\):
\[B{l^2}\sin \beta = 16ItR\]
Произведение силы тока \(I\) на время \(t\) даёт искомый протекший через рамку заряд \(q\), значит:
\[B{l^2}\sin \beta = 16qR\]
\[q = \frac{{B{l^2}\sin \beta }}{16R}\]
Задача решена в общем виде, посчитаем численный ответ:
\[q = \frac{{50 \cdot {{10}^{ — 6}} \cdot {2^2} \cdot \sin 90^\circ }}{{16 \cdot 0,1}} = 125 \cdot {10^{ — 6}}\;Кл = 125\;мкКл\]
Ответ: 125 мкКл.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
8.4.19 Рамка из 25 витков находится в магнитном поле. Определить ЭДС индукции
8.4.21 Самолет, имеющий размах крыльев 31,7 м, летит горизонтально со скоростью 400 м/с
8.4.22 Сколько витков провода должна содержать обмотка на стальном сердечнике с поперечным
«Получается, что так. Заряд не зависит, а вот сила тока – должна зависеть.»
Ерунда кака-то!!! (если не сказать грубее!!!)
по определению:
I = dq / dt
если q = const, то (по правилам математики) I = 0
Доказываю:\[\left\{ \begin{gathered}
I = \frac{{{{\rm E}_i}}}{R} \hfill \\
{{\rm E}_i} = \frac{{d\Phi }}{{dt}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]\[I = \frac{1}{R} \cdot \frac{{d\Phi }}{{dt}}\]И почему Вы считаете это ерундой (или чем-то, что погрубее)? Сила тока — первая производная от заряда по времени. Заряд зависит от изменения потока, тогда сила тока — от скорости изменения потока.
1) Заряд зависит от скорости изменения площади. Только в данной задаче рассматриваются крайние(!!!) ситуации.
2) с какого перепуга cos(alpha) меняться стал? изначально cos(alpha) = 1,
т.к. alpha = 0 по условию задачи для любой формы площади контура
1) Здесь Вы не правы, заряд зависит от изменения потока (в данной задаче — от изменения площади), а не от скорости изменения потока (площади). Доказываю:
\[\left\{ \begin{gathered}
I = \frac{{dq}}{{dt}} \hfill \\
I = \frac{{{{\rm E}_i}}}{R} \hfill \\
{{\rm E}_i} = \frac{{d\Phi }}{{dt}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]\[dq = Idt\]\[dq = \frac{{{{\rm E}_i}}}{R}dt\]\[dq = \frac{{d\Phi }}{{dt \cdot R}}dt\]\[dq = \frac{1}{R}d\Phi \]
2) Не знаю с какого перепуга, ведь об этом в решении нигде не сказано. В условии дан угол \(\beta\) между плоскостью квадрата и вектором магнитной индукции, а в формуле-определении потока фигурирует угол \(\alpha\) между нормалью к плоскости рамки и вектором магнитной индукции. В решении я привожу первый угол ко второму.
получается что заряд не зависит от скорости изменения площади.?
Получается, что так. Заряд не зависит, а вот сила тока — должна зависеть.