Решение: Сколько урана с молярной массой 0,238 кг/моль расщепляется в ходе суточной работы

Условие задачи:

Сколько урана с молярной массой 0,238 кг/моль расщепляется в ходе суточной работы атомной электростанции, тепловая мощность которой равна 1 МВт? Дефект массы при делении ядра урана равен 4·10^-28 кг, КПД станции 20%.

Задача №11.10.8 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(M=0,238\) кг/моль, \(t=1\) сут, \(P=1\) МВт, \(\Delta m = 4 \cdot 10^{-28}\) кг, \(\eta=20\%\), \(m-?\)

Решение задачи:

Коэффициент полезного действия (КПД) атомной электростанции \(\eta\) определим как отношение полезной работы \(A_п\) к затраченной работе \(A_з\), то есть:

\[\eta = \frac{{{A_п}}}{{{A_з}}}\;\;\;\;(1)\]

Полезную работу \(A_п\) легко найти как произведение тепловой мощности атомной станции \(P\) на время работы \(t\), поэтому:

\[{A_п} = Pt\;\;\;\;(2)\]

Затраченная работа \(A_з\) равна энергии \(E\), которая выделяется при делении ядер урана массой \(m\).

\[{A_з} = E\;\;\;\;(3)\]

Очевидно, что энергия \(E\) равна произведению количества атомов (ядер) \(N\) урана, содержащихся в массе \(m\), на энергию, выделяющуюся при делении одного ядра урана \(E_0\), то есть:

\[E = N{E_0}\;\;\;\;(4)\]

Чтобы определить количество атомов (ядер) урана \(N\) в массе \(m\), запишем две формулы определения количества вещества \(\nu\):

\[\left\{ \begin{gathered}
\nu = \frac{N}{{{N_А}}} \hfill \\
\nu = \frac{m}{M} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Здесь \(N_А\) — постоянная Авогадро, равная 6,022·10²³ моль^-1, \(M\) — молярная масса урана, равная 0,238 кг/моль. Тогда:

\[\frac{N}{{{N_А}}} = \frac{m}{M}\]

\[N = \frac{{{m}{N_А}}}{M}\;\;\;\;(5)\]

Так как энергия эквивалентна массе, значит при распаде одного ядра урана выделяется энергия \(E_0\). Запишем формулу Эйнштейна для связи между энергией и массой:

\[E_0 = \Delta m{c^2}\;\;\;\;(6)\]

Здесь \(\Delta m\) — изменение массы в процессе распада урана (дефект масс), \(c\) — скорость света в вакууме, равная 3·10⁸ м/с.

Подставим выражения (5) и (6) в формулу (4):

\[E = \frac{{m{N_А}\Delta m{c^2}}}{M}\]

Учитывая (3), имеем:

\[A_з = \frac{{m{N_А}\Delta m{c^2}}}{M}\;\;\;\;(7)\]

Подставим выражения (2) и (7) в формулу (1), тогда получим:

\[\eta = \frac{{PMt}}{{m{N_А}{\Delta m{c^2}}}}\]

Откуда искомая масса \(m\) равна:

\[m = \frac{{PMt}}{{\eta {N_А}{\Delta m{c^2}}}}\]

Задача решена в общем виде, подставим данные задачи в полученную формулу и посчитаем численный ответ:

\[m = \frac{{1 \cdot {{10}^6} \cdot 0,238 \cdot 24 \cdot 3600}}{{0,2 \cdot 6,022 \cdot {{10}^{23}} \cdot 4 \cdot {{10}^{ — 28}} \cdot {{\left( {3 \cdot {{10}^8}} \right)}^2}}} = 4,74 \cdot {10^{ — 3}}\;кг = 4,74\;г\]