Условие задачи:
Пружинный маятник совершает косинусоидальные колебания, после того как его вывели из положения равновесия и отпустили. Через какое время после начала колебаний его кинетическая энергия станет равна его потенциальной?
Задача №9.4.9 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(E_к=E_п\), \(t-?\)
Решение задачи:
Если пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону косинуса, то уравнение этих колебаний в общем случае можно представить в виде (начальную фазу колебаний \(\varphi_0\) примем равной нулю):
\[x = A\cos \left( {\omega t} \right)\;\;\;\;(1)\]
В этой формуле \(A\) — амплитуда колебаний, \(\omega\) — циклическая частота колебаний.
Если взять производную от уравнения (1), то получим уравнение скорости:
\[\upsilon = — A\omega \sin \left( {\omega t} \right)\;\;\;\;(2)\]
В условии сказано, что нам нужно найти время, когда кинетическая энергия колеблющегося тела будет в первый раз равна потенциальной энергии пружины:
\[{E_к} = {E_п}\]
\[\frac{{m{\upsilon ^2}}}{2} = \frac{{k{x^2}}}{2}\]
\[m{\upsilon ^2} = k{x^2}\]
Учитывая (1) и (2), получим:
\[m{A^2}{\omega ^2}{\sin ^2}\left( {\omega t} \right) = k{A^2}{\cos ^2}\left( {\omega t} \right)\]
\[m{\omega ^2}{\sin ^2}\left( {\omega t} \right) = k{\cos ^2}\left( {\omega t} \right)\;\;\;\;(3)\]
Циклическую частоту колебаний \(\omega\) пружинного маятника определяют по формуле:
\[\omega = \sqrt {\frac{k}{m}} \]
В этой формуле \(k\) — жесткость пружины, \(m\) — масса колеблющегося груза.
Подставим это выражение в формулу (3):
\[m\frac{k}{m}{\sin ^2}\left( {\omega t} \right) = k{\cos ^2}\left( {\omega t} \right)\]
\[{\sin ^2}\left( {\omega t} \right) = {\cos ^2}\left( {\omega t} \right)\]
\[{\cos ^2}\left( {\omega t} \right) — {\sin ^2}\left( {\omega t} \right) = 0\]
\[\cos \left( {2\omega t} \right) = 0\]
\[2\omega t = \frac{\pi }{2}\;\;\;\;(4)\]
Также циклическую частоту колебаний \(\omega\) можно определить по формуле:
\[\omega = \frac{{2\pi }}{T}\]
В таком случае уравнение (4) примет вид:
\[\frac{{4\pi t}}{T} = \frac{\pi }{2}\]
\[t = \frac{T}{8}\]
Ответ: \(\frac{T}{8}\).
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
9.4.8 Пружинный маятник вывели из положения равновесия и отпустили. Через какое время
9.4.10 Материальная точка совершает гармонические колебания. Как изменится кинетическая
9.4.11 Максимальная кинетическая энергия материальной точки массы 10 г, совершающей