Решение: На пружине подвешена чаша весов с гирями. При этом период вертикальных колебаний

Условие задачи:

На пружине подвешена чаша весов с гирями. При этом период вертикальных колебаний 0,5 с. После помещения на чашу весов добавочных гирь, период колебаний увеличился на 0,1 с. На сколько удлинилась пружина?

Задача №9.3.17 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(T=0,5\) с, \(\Delta T=0,1\) с, \(\Delta A-?\)

Решение задачи:

Сначала запишем дважды формулу для определения периодов колебания пружинного маятника:

\[\left\{ \begin{gathered}
T = 2\pi \sqrt {\frac{m}{k}} \hfill \\
T + \Delta T = 2\pi \sqrt {\frac{{m + \Delta m}}{k}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Возведем обе части каждого уравнения в квадрат:

\[\left\{ \begin{gathered}
{T^2} = \frac{{4{\pi ^2}m}}{k} \hfill \\
{T^2} + 2T\Delta T + \Delta {T^2} = \frac{{4{\pi ^2}\left( {m + \Delta m} \right)}}{k} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Вычтем из второго уравнения первое:

\[2T\Delta T + \Delta {T^2} = \frac{{4{\pi ^2}\Delta m}}{k}\]

\[\Delta T\left( {2T + \Delta T} \right) = \frac{{4{\pi ^2}\Delta m}}{k}\;\;\;\;(1)\]

Амплитуду колебаний найдем из следующих соображений, для чего рассмотрим обычный пружинный маятник. В положении равновесия пружина растянута на некоторую величину \(x_0\), и груз колеблется на величину «плюс-минус» амплитуды от положения равновесия. Также известно, что в крайних положениях ускорение груза будет одинаковым и равным \(a_{\max}\). Запишем второй закон Ньютона для крайних положений колебания пружинного маятника:

\[\left\{ \begin{gathered}
k({x_0} — A) + mg = m{a_{\max }} \hfill \\
k\left( {{x_0} + A} \right) — mg = m{a_{\max }} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Из второго уравнения отнимем первое, тогда:

\[2kA — 2mg = 0\]

\[mg = kA\]

Полученное уравнение запишем для наших двух случаев:

\[\left\{ \begin{gathered}
mg = kA \hfill \\
\left( {m + \Delta m} \right)g = k\left( {A + \Delta A} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Также вычтем из второго уравнения первое:

\[\Delta mg = k\Delta A\]

Откуда имеем:

\[\frac{{\Delta m}}{k} = \frac{{\Delta A}}{g}\]

Тогда уравнение (1) можно перезаписать в виде:

\[\Delta T\left( {2T + \Delta T} \right) = \frac{{4{\pi ^2}\Delta A}}{g}\]

Откуда окончательно получим: