Решение: К потолку подвешены два маятника. За одинаковое время первый маятник совершил

Условие задачи:

К потолку подвешены два маятника. За одинаковое время первый маятник совершил 5 колебаний, а второй — 3 колебания. Какова длина второго маятника, если разность их длин 48 см?

Задача №9.2.18 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(N_1=5\), \(N_2=3\), \(\Delta l=48\) см, \(l_2-?\)

Решение задачи:

Период колебаний \(T\) можно определять по формуле:

\[T = \frac{t}{N}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(t\) — время колебаний, \(N\) — число полных колебаний, которое было совершено за время \(t\).

Также период колебаний математического маятника легко найти по формуле Гюйгенса:

\[T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} \;\;\;\;(2)\]

Здесь \(l\) — длина маятника, \(g\) — ускорение свободного падения (для решения задач можно принимать \(g=10\) м/с²).

Приравняв (1) и (2), мы имеем равенство:

\[\frac{t}{N} = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} \;\;\;\;(3)\]

Запишем его для двух маятников:

\[\left\{ \begin{gathered}
\frac{t}{{{N_1}}} = 2\pi \sqrt {\frac{{{l_1}}}{g}} \hfill \\
\frac{t}{{{N_2}}} = 2\pi \sqrt {\frac{{{l_2}}}{g}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Поделим верхнее уравнение на нижнее:

\[\frac{{{N_2}}}{{{N_1}}} = \sqrt {\frac{{{l_1}}}{{{l_2}}}} \]

Возведем в квадрат обе части равенства, тогда:

\[\frac{{{l_1}}}{{{l_2}}} = \frac{{N_2^2}}{{N_1^2}}\]

Отсюда выразим длину первого маятника \(l_1\):

\[{l_1} = {l_2}\frac{{N_2^2}}{{N_1^2}}\;\;\;\;(4)\]

Теперь смотрим на равенство (3). Из него видно, что меньше количество колебаний \(N\), тем больше должна быть длина маятника \(l\). То есть мы имеем, что \({l_2} > {l_1}\), поэтому данную в условии разность длин \(\Delta l\) мы можем выразить следующим образом:

\[\Delta l = {l_2} — {l_1}\]

Учитывая (4), имеем:

\[\Delta l = {l_2} — {l_2}\frac{{N_2^2}}{{N_1^2}}\]

\[\Delta l = {l_2}\frac{{N_1^2 — N_2^2}}{{N_1^2}}\]

Откуда окончательно получим:

\[{l_2} = \frac{{\Delta l \cdot N_1^2}}{{N_1^2 — N_2^2}}\]

Задача решена, посчитаем численный ответ:

\[\Delta l = \frac{{0,48 \cdot {5^2}}}{{{5^2} — {3^2}}} = 0,75\;м\]