Условие задачи:
Один моль идеального газа, находящегося при температуре \(T_0\), нагревают. Какое количество теплоты нужно подвести к газу, чтобы изобарически увеличить его объем втрое?
Задача №5.5.12 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(\nu=1\) моль, \(T_0\), \(p=const\), \(V_1=3V_0\), \(Q-?\)
Решение задачи:
Автор задачи не указал каким является газ, поэтому мы будем решать эту задачу из предположения, что он одноатомный.
Запишем первый закон термодинамики:
\[Q = \Delta U + A\;\;\;\;(1)\]
Изменение внутренней энергии одноатомного газа \(\Delta U\) определяют по формуле (у одноатомного газа — 3 степени свободы):
\[\Delta U = \frac{3}{2}\nu R\Delta T\;\;\;\;(2)\]
Если газ нагревать изобарно, то его объем будет увеличиваться (это видно из закона Гей-Люссака, смотрите ниже). Работу газа \(A\) при изобарном расширении можно найти по формуле:
\[A = p\left( {{V_1} — {V_0}} \right) = p{V_1} — p{V_0}\;\;\;\;(3)\]
Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для начального и конечного состояния рассматриваемого газа:
\[\left\{ \begin{gathered}
p{V_0} = \nu R{T_0} \hfill \\
p{V_1} = \nu R{T_1} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
С помощью этих уравнений формулу (3) можно переписать в виде:
\[A = \nu R{T_1} — \nu R{T_0} = \nu R\left( {{T_1} — {T_0}} \right)\]
\[A = \nu R\Delta T\;\;\;\;(4)\]
Полученные выражения (2) и (4) подставим в формулу (1), тогда:
\[Q = \frac{3}{2}\nu R\Delta T + \nu R\Delta T\]
\[Q = \frac{5}{2}\nu R\Delta T\;\;\;\;(5)\]
Изменение температуры и объема в изобарном процессе описывается законом Гей-Люссака:
\[\frac{{{V_0}}}{{{T_0}}} = \frac{{{V_1}}}{{{T_1}}}\]
Выразим конечную температуру газа \(T_1\):
\[{T_1} = {T_0}\frac{{{V_1}}}{{{V_0}}}\]
В условии говорится, что объем увеличивается втрое (\(V_1=3V_0\)), поэтому:
\[{T_1} = {T_0}\frac{{3{V_0}}}{{{V_0}}} = 3{T_0}\]
Тогда изменение температуры газа \(\Delta T\) равно:
\[\Delta T = {T_1} — {T_0} = 3{T_0} — {T_0}\]
\[\Delta T = 2{T_0}\]
Это выражение подставим в формулу (5), таким образом, мы получим решение задачи в общем виде:
\[Q = \frac{5}{2}\nu R \cdot 2{T_0} = 5\nu R{T_0}\]
Ответ: \(5\nu R{T_0}\).
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
5.5.11 В закрытом сосуде объемом 2,5 л находится гелий при температуре 17 C и давлении
5.5.13 Закрытый баллон емкостью 50 л содержит аргон под давлением 200 кПа. Каким
5.5.14 Криптон массой 1 г был нагрет на 100 К при постоянном давлении. Какое количество