Условие задачи:
Два одинаковых сосуда, содержащие одинаковое число молекул азота, соединены краном. В первом сосуде средняя квадратичная скорость молекул равна 400 м/с, а во втором — 500 м/с. Какая установится температура, если открыть кран, соединяющий сосуды?
Задача №5.4.38 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(V\), \(\nu\), \(\upsilon_{кв1}=400\) м/с, \(\upsilon_{кв2}=500\) м/с, \(T-?\)
Решение задачи:
Согласно первому закону термодинамики внутреннюю энергию газа можно изменить, произведя передачу количества теплоты или совершив работу. В нашем случае ни того, ни другого происходить не будет, поэтому суммарная внутренняя энергия молекул азота будет сохраняться.
\[{U_1} + {U_2} = U\;\;\;\;(1)\]
Пусть изначально температура азота в первом сосуде равна \(T_1\), во втором сосуде — \(T_2\), а после смешения — \(T\). Тогда распишем внутренние энергии в равенстве (1) и получим (азот — двухатомный газ, поэтому в формулах фигурирует 5 — это число степеней свободы молекулы азота):
\[\frac{5}{2}\nu R{T_1} + \frac{5}{2}\nu R{T_2} = \frac{5}{2} \cdot 2\nu RT\]
\[{T_1} + {T_2} = 2T\]
Тогда искомую температуру газа \(T\) после смешения определим так:
\[T = \frac{1}{2}\left( {{T_1} + {T_2}} \right)\;\;\;\;(2)\]
Чтобы выразить температуру газа через среднеквадратичную скорость, запишем формулу для определения последней:
\[{\upsilon _{кв}} = \sqrt {\frac{{3RT}}{M}} \]
Молярная масса азота \(M\) равна 28 г/моль (в системе СИ — 0,028 кг/моль).
Откуда:
\[T = \frac{{\upsilon _{кв}^2M}}{{3R}}\]
Тогда формулу (2) можно записать так:
\[T = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\upsilon _{кв1}^2M}}{{3R}} + \frac{{\upsilon _{кв2}^2M}}{{3R}}} \right) = \frac{M}{{6R}}\left( {\upsilon _{кв1}^2 + \upsilon _{кв2}^2} \right)\]
Мы получили решение задачи в общем виде, дело остаётся за малым — найти численный ответ:
\[T = \frac{{0,028}}{{6 \cdot 8,31}}\left( {{{400}^2} + {{500}^2}} \right) = 230,2\;К = — 42,8^\circ\;C \]
Ответ: -42,8 °C.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
5.4.37 Два сосуда, содержащие одинаковое количество атомов гелия, соединены краном
5.4.39 Два теплоизолированных сосуда соединены трубкой с закрытым краном. В первом
5.5.1 Газ при изотермическом расширении получил 10 кДж теплоты. Чему равна
Благодарю за объяснение.
С уважением Валерий.
Добрый день.
На сколько я понимаю , в выражении для средне квадратичной скорости должна стоять под корнем не 3, а 5, так как газ двухатомный и имеет 5 степеней свободы. Объясните пожалуйста.
С уважением Валерий.
Я полагаю, что все-таки правильно 3, а не 5.
Дело в том, что мы определяем среднеквадратичную скорость поступательного (!!!!) движения молекул, а её энергия для любой молекулы равна:\[E = \frac{3}{2}kT\] Имеем:\[\frac{{{m_0}\upsilon _{кв}^2}}{2} = \frac{3}{2}kT\]\[{\upsilon _{кв}} = \sqrt {\frac{{3kT}}{{{m_0}}}} = \sqrt {\frac{{3RT}}{M}} \]Остальные степени свободы относятся к вращательным, к скорости поступательного движения они никакого отношения не имеют.