Решение: Плоский заряженный конденсатор соединили параллельно с незаряженным плоским

Условие задачи:

Плоский заряженный конденсатор соединили параллельно с незаряженным плоским конденсатором, площадь обкладок которого вдвое больше первого. Во сколько раз изменился потенциал первого конденсатора?

Задача №6.4.38 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\frac{S_2}{S_1}=2\), \(\frac{U}{U_0}-?\)

Решение задачи:

В общем случае электроемкость плоского конденсатора определяется по формуле:

\[C = \frac{{\varepsilon {\varepsilon _0}S}}{d}\]

Если конденсаторы отличаются лишь площадью обкладок (площадь обкладок второго вдвое больше первого, то есть \(\frac{S_2}{S_1}=2\)), то очевидно, что отношение емкостей равно:

\[\frac{{{C_2}}}{{{C_1}}} = 2\;\;\;\;(1)\]

Введем некоторые обозначения. Пусть \(q_0\) – начальный заряд первого конденсатора (который был изначально заряжен), а \(q_1\) и \(q_2\) – конечные заряды первого и второго конденсаторов. Благодаря закону сохранения заряда выполняется следующее равенство:

\[{q_0} = {q_1} + {q_2}\;\;\;\;(2)\]

Также пусть изначально первый конденсатор был заряжен до напряжения \(U_0\). После того, как конденсаторы соединят параллельно, напряжения на их обкладках станут одинаковыми и равными некоторому \(U\). Поэтому заряды можно найти по таким формулам:

\[\left\{ \begin{gathered}
{q_0} = {C_1}{U_0} \hfill \\
{q_1} = {C_1}U \hfill \\
{q_2} = {C_2}U \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

С учетом этой системы равенство (2) примет следующий вид:

\[{C_1}{U_0} = {C_1}U + {C_2}U\]

Разделим обе части равенства на \(C_1\), тогда:

\[{U_0} = U + \frac{{{C_2}}}{{{C_1}}}U\]

Учитывая (1), имеем:

\[{U_0} = U + 2U\]

\[{U_0} = 3U\]

\[\frac{U}{{{U_0}}} = \frac{1}{3}\]