Решение: Плоский воздушный конденсатор, заряженный до напряжения 200 В, отключили

Условие задачи:

Плоский воздушный конденсатор, заряженный до напряжения 200 В, отключили от источника напряжения. Каким будет напряжение на нем после заполнения пространства между его пластинами слюдой и увеличения расстояния между пластинами от 2 до 7 см?

Задача №6.4.19 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(U_1=200\) В, \(\varepsilon _2=7\), \(d_1=2\) см, \(d_2=7\) см, \(U_2-?\)

Решение задачи:

Если все манипуляции над конденсатором производят тогда, когда он отключен от источника напряжения, то постоянным будет оставаться заряд его пластин. Запишем формулу для электроемкости \(C\) и выразим оттуда заряд \(q\):

\[C = \frac{q}{U}\]

\[q = CU\;\;\;\;(1)\]

Пусть \(C_1\) – начальная электроемкость конденсатора, \(C_2\) – конечная электроемкость конденсатора, тогда зная, что \(q = const\), будет верно записать:

\[{C_1}{U_1} = {C_2}{U_2}\]

Выразим искомую разность потенциалов \(U_2\):

\[{U_2} = {U_1}\frac{{{C_1}}}{{{C_2}}}\;\;\;\;(2)\]

Электроемкость плоского конденсатора в общем случае определяют по формуле:

\[C = \frac{{\varepsilon {\varepsilon _0}S}}{d}\]

Используем последнюю формулу для определения начальной и конечной электроемкости нашего конденсатора:

\[\left\{ \begin{gathered}
{C_1} = \frac{{{\varepsilon _1}{\varepsilon _0}S}}{{{d_1}}} \hfill \\
{C_2} = \frac{{{\varepsilon _2}{\varepsilon _0}S}}{{{d_2}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Здесь \(\varepsilon _1\) – диэлектрическая проницаемость воздуха, равная 1, \(\varepsilon _2\) – диэлектрическая проницаемость слюды, равная 7.

Разделим верхнее равенство системы на нижнее, чтобы найти отношение \(\frac{C_1}{C_2}\):

\[\frac{{{C_1}}}{{{C_2}}} = \frac{{{\varepsilon _1}{d_2}}}{{{\varepsilon _2}{d_1}}}\]

Учитывая это, формула (2) примет такой вид:

\[{U_2} = {U_1}\frac{{{\varepsilon _1}{d_2}}}{{{\varepsilon _2}{d_1}}}\]

Мы решили задачу в общем виде, подставим в формулу значения величин и посчитаем численный ответ:

\[{U_2} = 200 \cdot \frac{{1 \cdot 0,07}}{{7 \cdot 0,02}} = 100\;В = 0,1\;кВ\]